709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Espais vectorials"
From Potatopedia
Tema 2. Espais vectorials (view source)
Revision as of 20:37, 18 September 2017
, 20:37, 18 September 2017Més apunts copiats
(Afegit més contingut dels apunts) |
(Més apunts copiats) |
||
| Line 38: | Line 38: | ||
{{Collapse bottom}} | {{Collapse bottom}} | ||
{{Collapse top|left=true|title= | {{Collapse top|left=true|title=Exercici: Comproveu que les operacions suma i producte estan ben definides a <math>\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math>}} | ||
<math>\begin{cases} \bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b} \\ | <math>\begin{cases} \bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b} \\ | ||
\bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a \cdot b} \end{cases} en \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math> | \bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a \cdot b} \end{cases} en \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math> | ||
| Line 62: | Line 62: | ||
<math>\text{Si } \overline{a} \text{ fos invers de 2} \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{2} = \overline{1}</math>, és a dir, <math>a \cdot 2 = 1 + \lambda \cdot 6</math>: <u>impossible</u> perquè <math>\begin{array}{l} 2 \mid a \cdot 2 \\ 2 \mid \lambda \cdot 6 \\ 2 \nmid 1 \end{array}</math> | <math>\text{Si } \overline{a} \text{ fos invers de 2} \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{2} = \overline{1}</math>, és a dir, <math>a \cdot 2 = 1 + \lambda \cdot 6</math>: <u>impossible</u> perquè <math>\begin{array}{l} 2 \mid a \cdot 2 \\ 2 \mid \lambda \cdot 6 \\ 2 \nmid 1 \end{array}</math> | ||
'''<u>Conclusió:</u>''' | |||
<math>\frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}</math> <u>no</u> és un cos. | |||
{{Collapse bottom}} | {{Collapse bottom}} | ||
'''<u>Fet</u>''': <math>\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} \text{ és un cos} \iff n=p \text{és un un nombre primer}</math> | |||
Si "n" no és primer, és producte de diversos nombres primers menors que "n", que no seran invertibles perquè no seran comprimers amb "n" per l'argument de l'anterior exerici. | |||
'''<u>Recordatori: Identitat de Bézout:</u>''' | |||
Donats <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, existeixen <math>c, d \in \mathbb{Z}</math> tals que: | |||
<math>mcd(a, b) = c \cdot a + d \cdot b</math> | |||
Exemple: <math>1 = c \cdot 2 + d \cdot p \\ \overline{1} = \overline{c} \cdot \overline{2}</math> | |||
<u>'''Definició:'''</u> sigui K un cos. Un <u>espai vectorial sobre k</u> (o un <u>k-espai vectorial</u>, o un <u>k-e.v.</u>) és un conjunt no buit E amb una operació interna (suma): <math>E \times E \rightarrow E \\ (u, v) \longmapsto u+v</math>, i una operació externa (producte per escalars): <math>K \times E \rightarrow E \\ (\lambda, u) \longmapsto \lambda \cdot u</math> tals que: | |||
* La suma és: | |||
** Associativa | |||
** Commutativa | |||
** Té element neutre: <math>O_E = \overrightarrow{O}</math> | |||
** Tot element té invers: <math>u \in E, \exists -u \mid u+(-u)=u-u=\overrightarrow{0}</math> | |||
* <math>\forall \lambda, \mu \in K \text{i} \forall u, v \in E</math> es té: | |||
** <math>(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u, \quad \lambda(u+v) = \lambda u + \lambda v</math> | |||
** <math>1 \cdot u = u, \quad (\lambda \mu)u = \lambda(\mu u)</math> | |||
Els elements d'<math>E</math> s'anomenen <u>vectors</u>. | |||
Els elements de <math>K</math> s'anomenen <u>escalars</u>. | |||
== Referències == | == Referències == | ||
