709
edits
Difference between revisions of "Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies"
From Potatopedia
Tema 1. Sèries numèriques i integrals impròpies (view source)
Revision as of 11:19, 3 October 2018
, 11:19, 3 October 2018Fet fins la introducció dels f_+ i f_-
m (Afegida numeració dels exemples dels criteris) |
(Fet fins la introducció dels f_+ i f_-) |
||
| Line 68: | Line 68: | ||
Per tant: <math>\begin{array}{rcl} \sum b_k \text{ conv.} & \implies & \sum a_k \text{ conv.} \\ \sum a_k \text{ div.} & \implies & \sum b_k \text{ div.} \end{array}</math>|Trivial: <math>\sum_{k=n_0}^n a_k \leq \sum_{k=n_0}^n b_k \implies \lim \sum_{k=n_0}^n a_k \leq \lim \sum_{k=n_0}^n b_k</math>, ...}} | Per tant: <math>\begin{array}{rcl} \sum b_k \text{ conv.} & \implies & \sum a_k \text{ conv.} \\ \sum a_k \text{ div.} & \implies & \sum b_k \text{ div.} \end{array}</math>|Trivial: <math>\sum_{k=n_0}^n a_k \leq \sum_{k=n_0}^n b_k \implies \lim \sum_{k=n_0}^n a_k \leq \lim \sum_{k=n_0}^n b_k</math>, ...}} | ||
{{Definició|Anomenem <u>sèrie harmònica generalitzada</u>, o <u>sèrie de Riemann</u> de paràmetre <math>p \in \mathbb{R}</math>, a la sèrie: <math>\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n^p}</math> | {{Definició|Anomenem <u>sèrie harmònica generalitzada</u>, o <u>sèrie de Riemann</u> de paràmetre <math>p \in \mathbb{R}</math>, a la sèrie: <math>\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n^p}</math> | ||
| Line 199: | Line 198: | ||
{{Collapse bottom}} | {{Collapse bottom}} | ||
{{Proposició|(criteri de la integral) Siguin <math>n_0 \in \mathbb{N}</math> i <math>f: [n_0, +\infty[</math> una funció positiva decreixent. Definim <math>a_n = f(n) \quad (n \geq n_0)</math>. Aleshores, les següents proposicions són equivalents: | |||
# La sèrie <math>\sum_{n \geq n_o} a_n</math> i la integral impròpia <math>\int_{n_o}^{+\infty} f</math> tenen el mateix caràcter. | |||
# Per a <math>N \geq n_o</math> tenim <math>\sum_{n=n_o}^\infty a_n = \sum_{n=n_o}^{N-1} a_n + \int_N^{+\infty}f + \epsilon_N</math>, on <math>\epsilon_N \in [0, a_N]</math>|Proof by picture: | |||
{{Under construction|avm99963}}}} | |||
{{Exemple|La sèrie <math>\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^\alpha}</math> i l'integral impròpia <math>\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha}</math> tenen el mateix caràcter.}} | |||
{{Proposició|(commutativitat de les sèries de termes positius) Sigui <math>\sum</math> una sèrie de termes positius. Donada qualsevol permutació <math>\sigma: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}</math>, la sèrie reordenada <math>\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}</math> té la mateixa suma (finita o infinita) que <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>.|Anomeo <math>A_n = \sum_{k=0}n a_k, B_n = \sum_{k=0}^n a_{\sigma(n)}</math> sumes parcials, i <math>A | |||
= \lim a_n, B = \lim B_n</math> sumes. | |||
Sigui <math>m \in \mathbb{N}</math> fixat. Aleshores, <math>\exists n \in \mathbb{N} \text{ tq } \{0, 1, \ldots, m\} \subset \{\sigma(0), \sigma(1), \ldots, \sigma(n)\}</math>. | |||
<math>\sigma</math> és suprajectiva, per tant <math>\{0, 1, \ldots, m\}</math> són imatges de diversos nombres, (dels que prenc el més gran). | |||
Per tant, <math>\underbrace{a_0 + a_1 + \cdots + a_m}_{= A_m} \underset{\text{sèrie de} \\ \text{termes positius}}{\leq} a_{\sigma(0)} + \underbrace{a_{\sigma(1)} + \cdots + a_{\sigma(n)}}_{= B_n \leq B} \implies A_m \leq B \implies A = \lim A_m \leq B</math> | |||
Canviant <math>\sigma</math> per la seva inversa deduïm que <math>B \leq A</math>. Així doncs, acabem concloent que <math>A=B</math>.}} | |||
== Sèries absolutament convergents i condicionalment convergents == | |||
{{Definició|Una sèrie <math>\sum a_n</math> és <u>absolutament convergent</u> quan la sèrie de termes positius <math>\sum|a_n|</math> és convergent.}} | |||
{{Proposició|Una sèrie absolutament convergent és convergent|Apliquem el criteri de Cauchy a <math>\sum |a_n|</math> | |||
Donat <math>\epsilon > 0, \exists n_o \in \mathbb{N} \text{ tq } m > n \geq n_0 \implies |a_{n+1}| + \cdots + |a_m| < \epsilon</math> | |||
D'aquí es desprén que <math>\sum a_n</math> també satisfà el criteri de Cauchy: <math>|s_m - s_n| = |a_{n+1} + \cdots + a_m| \underset{\text{des. tri.}}{\leq} |a_{n+1}| + \cdots + |a_m| < \epsilon</math>}} | |||
{{Definició|Una sèrie convergent però no absolutament convergent es diu <u>condicionalment convergent</u> (o <u>semiconvergent</u>).}} | |||
{{Exemple|<math>\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math> sèrie harmònica alternada}} | |||
<u>'''Propietats:'''</u> | |||
*Linealitat per sèries absolutament convergents (combinacions lineals de sèries absolutament convergents són absolutament convergents | |||
{{Definició|Donat un nombre real <math>a</math>, escrivim les seves <u>parts positiva</u> i <u>negativa</u>: <math>a_+ = \sup(a, 0), \quad a_- = \sup(-a, 0)</math>}} | |||
{{Observació|<math>a = a_+ - a_-, \quad |a| = a_+ + a_-</math>}} | |||
{{Definició|Donada <math>f: \mathbf{X} \longrightarrow \mathbb{R}</math>, tenim anàlogament: <math>f_+ = \sup(f, 0), \quad f_- = \sup(-f, 0)</math>}} | |||
{{Observació|<math>f = f_+ - f_-, \quad |f| = f_+ + f_-</math>}} | |||
{{Example top|Exemple: <math>f(x) = \sin(x)</math>}} | |||
{{Under construction|avm99963}} | |||
<!-- Falta introduïr la figura de com és la funció feta amb el gnuplot --> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
[[Category:Càlcul integral]] | |||
