709
edits
Difference between revisions of "Resum de càlcul integral"
From Potatopedia
no edit summary
(Primer esborrany de resum) |
|||
| Line 31: | Line 31: | ||
'''Monotonia i continuitat de la longitud:''' <math>l: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R} : \begin{cases} l(a) = 0 \\ l(t) = L(\gamma|_{[a, t]}) \enspace a < t \leq b \end{cases}</math> és creixent i contínua. | '''Monotonia i continuitat de la longitud:''' <math>l: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R} : \begin{cases} l(a) = 0 \\ l(t) = L(\gamma|_{[a, t]}) \enspace a < t \leq b \end{cases}</math> és creixent i contínua. | ||
Sigui <math>\begin{cases} \sigma: [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}^n \text{ camí} \\ \varphi: [c, d] \longrightarrow [a, b] \text{ homeomorfisme} \\ \tau = \sigma \circ \varphi: [c, d] \longrightarrow \mathbb{R}^n \end{cases}</math> | |||
<math>\sigma, \tau</math> són '''camins equivalents'''. <math>\varphi \text{ creixent} \implies </math> '''mateixa orientació''' (si no, '''orientació oposada'''). | <math>\sigma, \tau</math> són '''camins equivalents'''. <math>\varphi \text{ creixent} \implies </math> '''mateixa orientació''' (si no, '''orientació oposada'''). | ||
| Line 55: | Line 55: | ||
Equivalentment, <math>\displaystyle \int_M f \; dS = \int_\sigma f(\sigma(u)) \; ||T_1 \times T_2|| \; du_1 du_2</math> | Equivalentment, <math>\displaystyle \int_M f \; dS = \int_\sigma f(\sigma(u)) \; ||T_1 \times T_2|| \; du_1 du_2</math> | ||
=== Integrals de superfície de camps vectorials a <math>\mathbb{R}^3</math> === | |||
'''Integral de superfície o flux de <math>\vec{f}</math> sobre <math>\sigma</math>:''' <math>\displaystyle \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{S} := \int_U \vec{f}(\sigma(u)) \cdot (\vec{T_1}(u) \times \vec{T_2}(u)) \; du_1 du_2</math> | |||
Sigui <math>\begin{cases} \varphi: U \longrightarrow \tilde{U} \text{ difeomorfisme entre oberts connexos de } \mathbb{R}^2 \\ \sigma: U \longrightarrow \mathbb{R}^3 \text{ una superfície parametritzada} \\ \tilde{\sigma} = \sigma \circ \varphi^{-1}: \tilde{U} \longrightarrow \mathbb{R}^3 \text{ la reparametritzada de } \sigma \text{ per } \varphi \end{cases}</math> | |||
Aleshores, <math>\displaystyle \int_\tilde{\sigma} \vec{f} \cdot d\vec{S} = \pm \int_\sigma \vec{f} \cdot d\vec{S}</math>, on el signe és el de <math>J\varphi</math> | |||
[[Category:Càlcul integral]] | [[Category:Càlcul integral]] | ||
