709
edits
Difference between revisions of "Mètode per trobar una segona solució d'una EDO si en sabem una"
From Potatopedia
Mètode per trobar una segona solució d'una EDO si en sabem una (view source)
Revision as of 15:51, 14 February 2020
, 15:51, 14 February 2020Fi de la classe
(Partial save) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 49: | Line 49: | ||
<math>y_2(x) = u(x) y_1(x) = u(x) \cdot e^{2x} | <math>y_2(x) = u(x) y_1(x) = u(x) \cdot e^{2x} = c e^{2x} \int\frac{1}{e^{4t}} e^{-\int -4 ds} dt \implies</math> | ||
<math>y_2(x) = c e^{2x} \int\frac{e^{4t}}{e^{4t}} dt = c e^{2x} \int 1 = c \, x \, e^{2x}</math> | <math>y_2(x) = c e^{2x} \int\frac{e^{4t}}{e^{4t}} dt = c e^{2x} \int 1 = c \, x \, e^{2x}</math> | ||
{{Collapse bottom}} | {{Collapse bottom}} | ||
<math>y'' - 6y' + 9y = 0</math> | {{Example top|Exemple 2: EDO lineal de segon ordre amb coeficients constants <math>y'' - 6y' + 9y = 0</math>}} | ||
Probem amb la solució <math>y_1(x) = e^{kx}</math> | Probem amb la solució <math>y_1(x) = e^{kx}</math> | ||
| Line 65: | Line 64: | ||
<math>y_2(x) = u(x) y_1(x) = u(x) \cdot e^{3x} = c | <math>y_2(x) = u(x) y_1(x) = u(x) \cdot e^{3x} = c e^{3x} \int\frac{1}{e^{6t}} e^{-\int -6 ds} dt \implies</math> | ||
<math>y_2(x) = c e^{3x} \int\frac{e^{6t}}{e^{6t}} dt = c e^{3x} \int 1 = c \, x \, e^{3x}</math> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
{{Example top|Exemple 3: EDO lineal de tercer ordre amb coeficients constants <math>y''' - y'' - y' + y = 0</math>}} | |||
De l'equació característica obtenim dues solucions: <math>\begin{cases} y_1(x) = e^x \\ y_2(x) = e^{-x} \end{cases}</math> | |||
Suposem que la solució és del tipus <math>y_3(x) = u(x) e^x</math>. | |||
<math>y_3'(x) = u' e^x + u e^x</math> | |||
<math>y_3''(x) = u'' e^x + 2 u' e^x + u e^x</math> | |||
<math>y_3'''(x) = u''' e^x + 3 u'' e^x + 3 u' e^x + u e^x</math> | |||
Substituint a l'EDO: | |||
<math>u''' e^x + 3 u'' e^x + \cancel{3 u' e^x} + \cancel{u e^x} - (u'' e^x + \cancel{2 u' e^x} + \cancel{u e^x}) - (\cancel{u' e^x} + \cancel{u e^x}) + \cancel{u(x) e^x} = 0 \iff</math> | |||
<math>\iff u''' + 2 u'' = 0</math> | |||
Aleshores, tenim la solució <math>u''(x) = c_1 e^{-2x}</math>. | |||
<math>u'(x) = \int c_1 e^{-2x} = -\frac{c_1}{2} e^{-2x} + c_2</math> | |||
<math>u(x) = \int \left( -\frac{c_1}{2} e^{-2x} + c_2 \right) dx = \frac{c_1}{4}e^{-2x} + c_2x + c_3</math> | |||
<math>y_3(x) = u(x) e^x = \frac{c_1}{4}e^{-x} + c_2xe^x + c_3e^x</math> | |||
{{Collapse bottom}} | |||
