709
edits
Difference between revisions of "Bloc 1. Formació estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 1. Formació estel·lar (view source)
Revision as of 15:49, 17 September 2021
, 15:49, 17 September 2021Fi de la classe
(Partial save) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 290: | Line 290: | ||
<math>R_C > R_J \approx \left( \frac{15 k T}{4 \pi G \mu m_H \rho_0} \right)^{1/2}</math> | <math>R_C > R_J \approx \left( \frac{15 k T}{4 \pi G \mu m_H \rho_0} \right)^{1/2}</math> | ||
El criteri de Jeans que hem derivat no té en compte que existeix una pressió externa sobre el núvol donada pel medi circumdant. Pot ser que estigui dins d'un gas exterior més gran que exerceix una pressió (Giant Molecular Clouds). A més, la pressió que el mateix núvol pot exercir sobre el seu nucli pot no ser menyspreable. | |||
La correcció pel criteri de la massa mínima que té en compte això ve donada per la massa de Bonnor-Ebert: | |||
<math>M_{BE} = \frac{c_{BE} v_T^4}{\rho_0^{1/2} G^{3/2}}</math> on <math>v_T = \sqrt{kT/\mu m_H}</math> és la velocitat del so isotèrmica i <math>c_{BE} \approx 1.18</math> és una constant adimensional. | |||
* <math>M_J = M_{BE}</math> si prenem <math>c_J \approx 5.46</math> en lloc de <math>c_{BE}</math>. | |||
** Això vol dir que la pressió externa és important. | |||
* El fet que <math>c_{BE} < c_J</math> indica que la pressió externa del gas ajuda, de fet, al col·lapse de les regions internes del núvol molecular. | |||
=== Col·lapse gravitacional del núvol molecular === | |||
* En la derivació anterior hem negligit camps magnètics, turbulències, efectes de rotació del gas, etc. | |||
* Una ulterior simplificació ve donada en assumir que la pressió interna del gas és molt més petita que la força que fa la gravitació, llavors el col·lapse procedirà essencialment en '''caiguda lliure'''. | |||
* En aquesta caiguda lliure, podem suposar també que la temperatura romandrà més o menys constant ('''col·lapse isotèrmic'''). | |||
** A mesura que contraiem es pot escalfar, però pot radiar també, i com és poc dens la radiació escapa, així que més o menys la T es manté constant. | |||
** Aquesta condicióes manté mentre el núvol roman òpticament prim (contrari d'òpticament gruixut = opac, és a dir, els fotons són absorbits i emesos moltes vegades perquè la densitat és molt alta. Lliure recorregut mig de la radiació és molt petit). | |||
=== Sistemes de coordenades, variables físiques === | |||
Definim sistema de coordenades: | |||
* Assumim simetria esfèrica (bona aproximació). | |||
** Implica que totes les magnituds físiques (densitat \rho, pressió P, temperatura T, etc.) dependran només de <math>r</math>. | |||
* Les magnituds físiques evolucionen, així que depenen de <math>t</math> també. | |||
=== Equacions del moviment === | |||
Suposem un element de massa <math>dm</math> del núvol de gas (esfèric) que està col·lapsant: | |||
<math>dm(r, t) = \rho \, dr \, dS</math> | |||
Considerem les forces que actuen sobre <math>dm</math>: | |||
* Força de la gravetat: <math>F_g = -g \, dm</math>, amb <math>g = \frac{G m_r}{r^2}</math>. | |||
* Pressió del gas a l'interior de l'esfera: <math>P(r) dS</math>. | |||
* Pressió del gas extern a l'esfera: <math>-P(r + dr) dS</math>. | |||
TODO: Afegir imatge del Beamer amb el dibuix de la closca i les coordenades i forces dibuixades. | |||
Considerem ara l'acceleració que sofrirà aquest element de massa, <math>\ddot{r} \, dm = - g \, dm + P(r) \, dS - P(r + dr) \, dS</math>. | |||
Ara bé, <math>P(r + dr) = P(r) + \left( \frac{\partial P}{\partial r} \right) \, dr</math>. Aleshores, ens queda: | |||
<math>\frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{G m_r}{r^2} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r}</math> | |||
Assumim ara la condició que la gravetat és molt més forta que no pas els gradients de pressió dins del gas. Aleshores, obtenim una equació del moviment simplificada: | |||
<math>\frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{G m_r}{r^2}</math> | |||
Integrant l'equació del moviment simplificada, i atès que la massa a l'interior de <math>r(t = 0) = r_0</math> romandrà constant durant al contracció, podem escriure <math>m_r = \frac{4}{3} \pi r_0^3 \rho_0</math>. Obtenim: | |||
<math>\frac{dr}{dt} \frac{d^2 r}{dt^2} = - \left( \frac{4 \pi}{3} G \rho_0 r_0^3 \right) \frac{1}{r^2} \frac{dr}{dt}</math>. | |||
Integrant un cop respecte del temps: | |||
<math>\frac{1}{2} \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 = ...</math>. | |||
TODO: completar el de dalt. | |||
Substituint el valor de C_1 podem aïllar l'expressió per la velocitat dela superfície durant el col·lapse: | |||
<math>\frac{dr}{dt} = - \left[ \frac{8 \pi}{3} G \rho_0 r_0^2 \left( \frac{r_0}{r} - 1 \right) \right]^{1/2}</math>, on hem escollit la solució amb signe negatiu perquè estem interessats en la contracció de l'esfera. | |||
NOTA: A l'examen ens pot demanar desenvolupar una equació. Al Beamer hi ha info sobre com s'ha desenvolupat l'equació de la posició en funció del temps de forma paramètrica. | |||
TODO: Copiar aquell desenvolupament aquí. | |||
'''Temps de caiguda llire''' <math>t_{eff}</math>: el temps necessari per a què es completi el col·lapse (<math>r \to 0, \theta \to 0, \xi \to \pi/2</math>): <math>t_{eff} = \pi / 2 \xi</math>. Substituïnt el valor de xi obtenim: | |||
<math>t_{eff} = \frac{3 \pi}{32} \frac{1}{G \rho_0}</math> | |||
TODO: Completar l'anterior (falta un exponent que no sé on va). | |||
--- | |||
* Aquesta expressió pel temps de caiguda lliure és independent del radi inicial de l'esfera. Per tant, si la densitat inicial és homogènia, totes les parts del núvol trigaran el mateix temps en col·lapsar i, per tant, la densitat s'incrementarà al mateix ritme a tot arreu. | |||
** A això se l'anomena '''col·lapse homòlog'''. | |||
=== Fragmentació dels núvols moleculars === | |||
* Hi ha problemes amb el col·lapse. Els núvols moleculars són mooolt massius! (<math>M_c \approx 10^5-10^6 M_{\odot}</math>). | |||
** En principi s'haurien de formar estreles extremadament massives, fet que no s'observa. | |||
TODO: Això el proper dia :) | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
