709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:50, 7 October 2021
, 15:50, 7 October 2021Fi de la classe
(Partial save) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 1,043: | Line 1,043: | ||
Per tant, el '''criteri d'estabilitat contra la convecció''', $\rho_e > \rho_2$ es pot expressar com: | Per tant, el '''criteri d'estabilitat contra la convecció''', $\rho_e > \rho_2$ es pot expressar com: | ||
$$\delta \rho_e > \frac{d\rho}{dr} \Delta r.$$ | $$\delta \rho_e > \frac{d\rho}{dr} \Delta r.$$ | ||
Si la combinem amb eq. 179 (Beamer) obtenim un límit superior pel gradient de densitat pel qual una capa de gas dins l'estel serà estable contra un procés de convecció: | |||
$$\frac{1}{\rho_e} < \frac{1}{P_e} \frac{dP}{dr} \frac{1}{\gamma_{ad}} \implies \frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dr} < \frac{1}{P} \frac{dP}{dr} \frac{1}{\gamma_{ad}},$$ | |||
on s'ha canviat $P_e$ i $\rho_e$ per $P$ i $\rho$, ja que la pertorbació s'assumeix que és molt petita. | |||
Nota: tant $dP/dr$ i $d\rho/dr$ tenen signe negatiu i, per tant, en valor absolut, la desigualtat es reverteix. | |||
Això ens dona el '''criteri general per a l'estabilitat contra processos convectius''': | |||
$$\frac{d \log \rho}{d \log P} > \frac{1}{\gamma_{ad}}.$$ | |||
Això no és gaire útil: hem de calcular el gradient de densitat (no era una de les equacions estructurals). Podem veure-ho en termes del gradient de T, però. | |||
Definim la '''variació global de la temperatura amb la pressió''': | |||
$$\nabla := \frac{\partial \log T}{\partial \log P}.$$ | |||
Si el transport d'energia de l'estel és essencialment radiatiu, $\nabla \approx \nabla_{rad}$. El '''criteri de Schwarzschild''' estableix llavors que '''una capsa és estable contra processos convectius''' si es dona la condició: | |||
$$\nabla_{rad} = \frac{3}{16 \pi ac G} \frac{P}{T^4} \frac{kL_{loc}}{m} < \nabla_{ad}.$$ | |||
Capgirant la desigualtat, el criteri de Schwarzchild que tindrem processos convectius importants si es compleix: | |||
$$\nabla_{rad} > \nabla_{ad}.$$ | |||
Perquè això es compleixi, poden donar-se diferents situacions: | |||
* Regions molt opaques a la radiació ($k$ elevat): convecció serà eficient. | |||
** Ex: embolcall del Sol o estels relativament freds (recorden k creix per T baixes). | |||
** En general, per estels de baixa massa esperem embolcalls convectius. | |||
* Regions amb flux d'energia molt elevat, fent créixer $L_{loc}/m$. | |||
** Ex: centre d'estels massius on les reaccions termonuclears són molt eficients. | |||
*** Tindrem $L_{loc}/m \approx \varepsilon_{nuc}$ i els nuclis estel·lars seran per tant convectius. | |||
* Valors de $\nabla_{ad}$ baixos, per exemple en regions de l'estel parcialment ionitzades i a baixes temperatures. | |||
** Tot i que l'opacitat no és molt... TODO: COMPLETAR | |||
TODO: Adjuntar gràfic Beamer | |||
En l'exemple del gràfic tenim els tres casos: embolcall exterior convectiu en estel d'1 massa solar, i el nucli convectiu i un embolcall petitet convectiu en estel de 4 masses solars. | |||
--- | |||
* Per saber quanta energia es pot transportar i quin gradient de temperatura hi ha a la regió conectiva es requereixen simulacions numèriques. | |||
* En l'aproximació 1D ("mixing length theory") es prenen elements macroscòpics de gas que viatgen amunt o avall una certa distància radial $I_{mix}$ después de la qual es disolen en el material que els rodeja. | |||
** $I_{mix}$ es pot estimar com la distància-escala amb què canvia la pressió a nivell local. | |||
** Es defineix concretament com la distància radial en què la pressió decau... TODO: COMPLETE | |||
==== Flux d'energia convectiu ==== | |||
$$\Delta T = T_e - T_s = \left| \left( \frac{dT}{dr} \right)_e - \frac{dT}{dr} \right| \cdot \mathcal{l}_{mix} = \nabla \left( \frac{dT}{dr} \right) \cdot \mathcal{l}_{mix},$$ | |||
on ... TODO: COMPLETE!!! | |||
(s: surrounding) | |||
Combinant les equacions anteriors podem posar doncs: | |||
$$\Delta T = T \frac{\mathcal{l}_{mix}}{H_p} (\nabla - \nabla_{ad}).$$ | |||
L'excés d'energia interna de l'element de gas respecte el que hi ha al seu voltant és: | |||
$$\Delta u = c_p \Delta T,$$ | |||
n $c_p$ és el calor específic a pressió constant: | |||
$$c_p = \left( \frac{dq}{dT} \right)_P - \frac{P}{\rho^2} \left( \frac{d\rho}{dT} \right)_P.$$ | |||
Per derivar una expressió pel flux d'energia convectiu, hem de considerar la velocitat amb què es mou l'element de gas $v_c$ (o una estimació): | |||
$$F_{conv} = v_c \rho \Delta u = v_c \rho c_p \Delta T.$$ | |||
Per estimar $v_c$ (c ve de "convecció"), usem que l'acceleració de l'element de gas és: | |||
$$a = g \frac{\delta \rho}{\rho} \approx g \frac{\Delta T}{T},$$ | |||
on hem considerat que es tracta d'un gas ideal pel qual $P \propto \rho T$, i $\delta P \approx 0$. $\mathcal{l}_{mix} = (1/2) a t^2$ i per tant: $v_c \approx \mathcal{l}_{mix}/t = \sqrt{(1/2) \mathcal{l}_{mix} a}$: | |||
$$v_c \approx \sqrt{\frac{1}{2} \mathcal{l}_{mix} g \frac{\Delta T}{T}} \approx \sqrt{\frac{\mathcal{l}_{mix}}{2 H_p} (\Nabla - \Nabla_{ad})}.$$ | |||
Si substituïm ara a l'equació anterior: | |||
TODO: COMPLETAR l'equació | |||
Aquestes equacions ens relacionen la velocitat de convecció i el flux d'energia convectiu amb el "'''grau superadiabàtic'''" donat per $\nabla - \nabla_{ad}$. | |||
Per tal de transportar el flux total d'energia dins d'un estel $F_{conv} = L_{loc}/4\pi r^2$ necessitem que $\nabla - \nabla_{ad}$ sigui un cert valor. Utilitzant les aproximacions gas ideal + th. Virial: | |||
$$\rho \approx \bar{\rho} = \frac{3M}{4 \pi R^3}, \quad T \approx \bar{T} \sim \frac{\mu}{\mathcal{R}}\frac{GM}{R}$$ | |||
$$c_p = \frac{5}{2} \frac{\mathcal{R}}{\mu}, \quad \sqrt{g H_p} = ...$$ | |||
TODO: COMPLETAR | |||
Amb aquestes aproximacions: | |||
$$F_{conv} \sim \frac{M}{R^3} \left( \frac{GM}{R} \right)^{3/2} \frac{R}{GM}.$$ | |||
Prenent ara $F_{conv} = L_{loc}/4 \pi r^2 \rightarrow L/4 \pi R^2$ obtenim: | |||
$$\nabla - \nabla_{ad} \sim \left( \frac{LR}{4 \pi M} \right)^{2/3} \frac{R}{GM}.$$ | |||
Al Sol, per exemple: $\nabla - \nabla_{ad} \sim 10^{-8}$. | |||
Per tant, a l'interior d'un estel l'estratificació de temperatura és essencialment adiabàtica, independentment dels detalls de la teoria de convecció estel·lar. | |||
Igual que vam fer abans en l'apartat de radiació, si assumim eq. hidrostàtic, això implica el següent gradient de temperatura: | |||
$$\frac{dT}{dm} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} \frac{T}{P} \nabla, \quad \nabla = \nabla_{ad}.$$ | |||
En les zones més externes de l'estel, però, la situació és diferent ($\rho \ll \bar{\rho}$ i $T \ll \bar{T}$, així que $F_{cond}$ és molt petit). | |||
Prop de la superfície, la convecció esdevé molt poc eficient per transportar l'energia. Llavors... | |||
TODO: COMPLETAR | |||
==== Barreja del gas per conducció ==== | |||
Prenem la velocitat del gas que hem trobatabans i $\mathcal{l}_{mix} \approx H_p, \sqrt{g H_p} \approx v_s$ ($v_s$ velocitat del so en el medi). Aleshores: | |||
$$v_c \approx v_s \sqrt{\nabla - \nabla_{ad}}.$$ | |||
Com que $\nabla - \nabla_{ad}$ és molt petit en les regions convectives, $v_c$ són subsòniques per un factor $\sim 10^{-3}$. És per això que la convecció no té efectes disruptius a l'estel (l'eq. hidrostàtic no es veu amenaçat per la convecció). | |||
Ex: al Sol $v_c \sim 10^3 \text{ cm/s}$. | |||
Podem estimar $t_{mix} \approx d/v_c$ on $d$ és una certa fracció del radi de l'estel $d = \eta R$. Llavors $t_{mix} \sim \eta \times 10^7 \text{ s}$ pel Sol. | |||
El temps convectiu per una regió amb tamany típic $\eta R$ és de l'ordre de setmanes/mesos i, per tant: | |||
$$t_{mix} \ll t_{KH} \ll t_{nuc}$$ | |||
TODO: COMPLETAR | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
