709
edits
Difference between revisions of "Tema 2. Gravetat d'Einstein"
From Potatopedia
Tema 2. Gravetat d'Einstein (view source)
Revision as of 16:55, 19 November 2021
, 16:55, 19 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 307: | Line 307: | ||
$$\dot{a}^2 + kc^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho a^2 + \frac{\Lambda c^2 a^2}{3}, \; \text{(1)}$$ | $$\dot{a}^2 + kc^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho a^2 + \frac{\Lambda c^2 a^2}{3}, \; \text{(1)}$$ | ||
$$\ddot{a} = - \frac{4 \pi}{3} G \left( \rho + 3 \frac{p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2 a}{3}. \; \text{(2)}$$ | $$\ddot{a} = - \frac{4 \pi}{3} G \left( \rho + 3 \frac{p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2 a}{3}. \; \text{(2)}$$ | ||
@TODO: NOTA: Crec que falta una "a" després de "(... 3p/c^2)*a". | |||
(2) és l'equació del moviment, i (1) la integral primera (com a molts llocs, tindrem que és l'energia del sistema). | (2) és l'equació del moviment, i (1) la integral primera (com a molts llocs, tindrem que és l'energia del sistema). | ||
| Line 314: | Line 316: | ||
Sovint la primera equació, utilitzant la 1a llei de la termodinàmica ($dU = T dS - p dV$), s'expressa d'una altra manera (suposem que $\Lambda = 0$). | Sovint la primera equació, utilitzant la 1a llei de la termodinàmica ($dU = T dS - p dV$), s'expressa d'una altra manera (suposem que $\Lambda = 0$). | ||
Com és una expansió adiabàtica, tenim $T dS = 0$, així que: | Com és una expansió adiabàtica (béeee cuidado! Realment no ho és perquè l'entropia sempre augmenta, però globalment ho podem suposar), tenim $T dS = 0$, així que: | ||
$$dU = - p dV \implies d(\rho c^2 a^3) = - p d a^3 \implies$$ | $$dU = - p dV \implies d(\rho c^2 a^3) = - p d a^3 \implies$$ | ||
$$ \implies \dot{\rho} = - 3 \frac{\dot{a}}{a} \left( \rho + \frac{p}{c^2} \right). \; (3)$$ | $$ \implies \dot{\rho} = - 3 \frac{\dot{a}}{a} \left( \rho + \frac{p}{c^2} \right). \; (3)$$ | ||
| Line 355: | Line 357: | ||
* Barions/matèria fosca | * Barions/matèria fosca | ||
* Energia fosca | * Energia fosca | ||
''Data: 19 de novembre de 2021'' | |||
Recomanació: les equacions que vam fer ahir i farem a partir d'ara aniria bé desenvolupar-les a casa per tal de practicar amb elles de cara a l'examen i també per veure d'on surten. | |||
Amb $\Lambda \neq 0$, podem reescriure les equacions com: | |||
$$\dot{a}^2 + kc^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho_{\text{eff}}, \; (1')$$ | |||
$$\ddot{a} = - \frac{4 \pi G}{3} \left( \rho_{\text{eff}} + 3 \frac{p_{\text{eff}}}{c^2} \right) a, \; \text{(2')}$$ | |||
amb: | |||
$$\left.\begin{array}{r} \rho_{eff} = \rho + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G} = \rho + \rho_\Lambda, \\ p_{eff} = p - \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G} = p + \underbrace{p_\Lambda}_{< 0}\end{array}\right\} \implies p_\Lambda = - \rho_\Lambda c^2 \implies w = -1 \text{!}$$ | |||
Recordem: la $w$ és la de l'equació d'estat $p = w \rho c^2$. | |||
Model cosmològic actual: ΛCDM (la Lambda ve de la constant cosmològica). | |||
Concepte de buit en la teoria quàntica de camps no és equivalent al "no res". Es defineix com que tots els camps estan en estat fonamental. | |||
'''Eq. d'estat d'un camp escalar $\varphi$:''' | |||
$$w = \frac{\frac{1}{2}\dot{\varphi} - V(\varphi)}{\frac{1}{2} \dot{\varphi}^2 + V(\varphi)}$$ | |||
Nota: si $\dot{\varphi} = 0$, llavors $w = -1$. Curioso, és el que ens ha sortit abans... | |||
--- | |||
Si a les equacions de Friedmann imposem $\ddot{a} = \dot{a} = 0$, obtenim: | |||
$$\rho_{\text{eff}} = - \frac{3 p_{eff}}{c^2} = \frac{3 k c^2}{8 \pi G a^2}.$$ | |||
=== Univers de pols === | |||
Idea inicial Einstein: estem en un univers de pols: la pols és un fluid (comparat amb un gas, la pols té menys pressió). Per tant, podem simplificar i fer $p = 0$. Això és $w = 0$ (barions i CDM (Cold Dark Matter); el cold ve de que no es mouen a velocitats relativistes). Això ens dona com a densitat per la matèria ordinària: | |||
$$\rho = \frac{kc^2}{4 \pi G a^2} > 0 \implies K > 0,$$ | |||
$$\Lambda = \frac{K}{a^2} > 0.$$ | |||
Això ens dona la següent constant cosmològica de l'Einstein (no l'actual): | |||
$$\Lambda_E = \frac{4 \pi G}{c^2} \rho.$$ | |||
(Anècdota: la mateixa massa (o energia) de matèria té la meitat d'efectes gravitatoris que el mateix però amb fotons (tenen diferent equació d'estat).) | |||
Podem veure a aquesta fórmula que $\Lambda$ (qualsevol) té unitats $\text{L}^{-2}$. | |||
Veient això, diem que l'escala de l'univers d'Einstein és de: | |||
$$r = \Lambda_E^{-1/2} = \frac{c}{(4 \pi G \rho)^{1/2}}$$ | |||
Per tant el volum de l'univers d'Einstein (àrea de la hípersuperfície 3D embedida a l'espai 4D) és: | |||
$$V = 2 \pi^2 r^3$$ | |||
L'Einstein va estar lluitant per mantenir aquest model cosmològic fins a finals dels anys 20. Va haver un article del Friedmann trobant solucions on l'univers natural s'expandia o es contreia. L'Einstein era referee i deia que estava malament. Després va acceptar que estava bé però que era un "divertimento" (ell es pensava que l'univers es comportava com ell deia). | |||
Lemaître va establir reunió entre Edwin Hubble i Einstein perquè l'expliqués que les seves observacions apuntaven a l'expansió. D'aquí va sortir l'Einstein va sortir convençut que evidentment el seu model era erroni i l'univers s'estava expandint. | |||
Una altra cosa que li van ensenyar és que aquest model és inestable. (nosaltres ho farem amb l'equació de Friedmann que és molt més senzill) | |||
Si prenem $p = 0$ (com hem dit de l'univers de pols), i tenim (posant la Lambda d'Einstein): | |||
$$\frac{\ddot{a}}{a} = - 4 \pi G \left[ \rho + \frac{\Lambda c^3}{8 \pi G} - \frac{3}{c^2} \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G} \right] = - \frac{4 \pi G}{3} \left[ \rho - \frac{\Lambda_E c^2}{4 \pi G} \right].$$ | |||
Si es disminueix una mica la $\rho$ la $\ddot{a}$ és positiva, i això té un efecte de feedback retroactiu que fa que la densitat disminueixi tota l'estona, és a dir, inestable. | |||
=== Univers de Sitter (dS) === | |||
El model s'obté imposant: $p = \rho = 0$ (vacuum solution). Però per no arribar a la solució de Minkowski (buit de veritat), prenem $\Lambda \neq 0$. També imposa que $k = 0$. | |||
$$\rho_{\text{eff}} = - \frac{p_{\text{eff}}}{c^2} = \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G} \underset{(1')}{\implies} \dot{a}^2 = \frac{1}{3} \Lambda c^2 a^2 \implies \Lambda > 0.$$ | |||
En aquest model en concret, això fa que $\ddot{a} > 0$. | |||
$$a(t) = A \exp\left[ \left( \frac{1}{3} \Lambda \right)^{1/2} ct \right]$$ | |||
'''Paràmetre de Hubble:''' | |||
$$H(t) := \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} = c \left( \frac{\Lambda}{3} \right)^{1/2}.$$ | |||
La constant de Hubble és: | |||
$$H(t = 0) = H_0.$$ | |||
$$a(t) = A e^{H t}.$$ | |||
El paràmetre de Hubble és el ritme d'expansió de l'univers. Quan el creixement és exponencial, el paràmetre és constant (perquè el paràmetre està definit d'una manera "exponencial" i l'exponencial de l'expansió del model ho contrarresta). | |||
En aquests moments tot indica que molt en el futur el nostre univers acabarà amb un comportament de Sitter. | |||
Millor aproximació de la mètrica local al voltant d'una galàxia: la de Schwarzschild (no expandeix). L'univers s'expandeix però les coses que hi ha dintre no (no tractem amb la mètrica de FLRW). | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
