709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:31, 22 September 2021
, 15:31, 22 September 2021Partial save
(Partial save) |
(Partial save) |
||
| Line 68: | Line 68: | ||
** En aquest cas l'estructura mecànica i tèrmica de l'estel estan desacoblades (ex: nanes blanques) | ** En aquest cas l'estructura mecànica i tèrmica de l'estel estan desacoblades (ex: nanes blanques) | ||
=== Pressió central === | |||
Podem estimar la pressió al centre d'un estel prenent l'eq. (39) i imposant: | |||
$$\frac{dP}{dm} \approx \frac{P_\text{sup} - P_c}{M} \approx \frac{P_c}{M}, \quad m \approx \frac{1}{2} M, \quad r \approx \frac{1}{2} R$$ | |||
TODO: Aquí hi ha un signe que balla, ja ens dirà. | |||
D'aquesta manera ens queda: | |||
$$P_c \approx \frac{2}{\pi} \frac{GM^2}{R^4}$$ | |||
Ex: pel Sol, obtenim $P_c \approx 7e15 \text{ dyn/cm}^2$. | |||
TODO: Acabar de completar l'exemple de les diapos. | |||
Prenem una altra vegada l'eq. (39), però escrivint ara: | |||
$$\frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} \frac{dm}{dr} = - \frac{d}{dr} \left( \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} \right) - \frac{Gm^2}{2 \pi r^5} \implies$$ | |||
$$\implies \frac{d}{dr} \left( P + \frac{Gm^2}{8 \pi r^4} \right) = - \frac{Gm^2}{2 \pi r^5} < 0$$. | |||
La quantitat <math>\Psi(r) = P + \frac{Gm^2}{8 \pi r^4}</math> és per tant funció decreixent de r. Al centre de l'estel, el segon terme desapareix ja que <math>m \propto r^3</math> per r petits,i per tant $\Psi(0) = P_c$. A la superfície $P \approx 0$. Del fet que $\Psi$ és una funció decreixent de $r$ en segueix que: | |||
$$P_c > \frac{1}{8 \pi} \frac{GM^2}{R^4}$$ | |||
És valida per qualsevol... | |||
TODO: Acabar d'escriure | |||
=== Temps dinàmic === | |||
Podem estimar a partir de l'anterior quan ràpid es donen els canvis en l'estructura de l'estel quan és pertorbat respecte l'equilibri. | |||
Per un estel ja format, dimensionalment, podem aproximar l'acceleració de caiguda de les diferents capes com: | |||
$$|\ddot{r}| \approx \frac{R}{t^2_{ff, \text{estel}}} \implies t_{ff, \text{estel}} \approx \sqrt{\frac{R}{|\ddot{r}|}}$$ | |||
Prenent ara $|\ddot{r}| = g \approx GM/R^2$ ens queda: | |||
$$t_{ff, \text{estel}} \approx \sqrt{\frac{R}{g}} = ...$$ | |||
TODO: Completar | |||
--- | |||
Manera alternativa: suposar el contrari, que la gravetat desapareix i l'estrella s'expandeix. Això ens donaria un temps escala típic per a què la pressió (cap enfora) fes explotar l'estel. Aquest temps és similar al que requeriria una ona de so en travessar tota l'estrella des del centre a la superfície. Per l'eq. (36) | |||
$$\frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r}$$ | |||
Si ara aproximem $d^2/dt^2 \approx 1/t^2_{exp}$ i $(1/\rho) \partial P/\partial r \approx \bar{P}/\bar{\rho} R$, on $\bar{x}$ és el valor mig de $x$, obtenim: | |||
$$t_exp \approx \frac{R}{\sqrt{\frac{\bar{P}}{\bar{\rho}}}} \approx \frac{R}{\bar{c_s}}$$ | |||
TODO: Completar | |||
--- | |||
Exemple: cas del Sol. $t_{dyn} \approx 1600 \text{ s}$. Per tant, $t_{dyn} \ll t_{age} = 4.6\text{ Gyr} \approx 1.5 \times 10^{17} \text{ s}$. Conseqüències: | |||
* Qualsevol desviació important de l'estat d'eq. hidrostàtic dona lloc a fenomens transitoris ràpids. Si lestel no recupera el seu equilibri, això el porta directament al col·lapse o explosió. | |||
* Es pot recuperar donant lloc a petites oscil·lacions amb durada $\aprox t_{dyn}$. Aquest tipus de pertorbacions s'observen regularment al Sol, amb períodes d'alguns minuts. | |||
* Els estels resten en general molt propers a la situació d'eq. hidrostàtic. L'evolució és quasi-estàtica (escales de temps molt superiors a $t_{dyn}$). | |||
=== Teorema del Virial === | |||
Comencem per l'eq. (39) i multipliquem a banda i banda pel volum $V = (4/3) \pi r^3$: | |||
$$\int_0^M \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{dP}{dm} = - \frac{1}{3} \int_0^M \frac{Gm}{r} dm$$ | |||
La part dreta de dins de l'integral no és més que l'energia potencial gravitacional de l'estel. L'energia potencial gravitacional de l'estel és el treball per portar tots els elements de massa des de l'infinit fins al radi actual (la integral). | |||
La banda esquerra es pot integrar per parts i substituir una equació anterior: | |||
$$\frac{4}{3} \pi R^3 P(R) - \int_0^V P dV = \frac{1}{3} E_{grav}$$ | |||
Si considerem tot l'estel, la part esuqerra s'anul·la ja que $P(R) \to 0$ i ens queda: | |||
<math>-3 \int_0^{V_s} P dV = E_{grav}</math> | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
