709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:50, 22 September 2021
, 15:50, 22 September 2021Fi de la classe
(Partial save) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 142: | Line 142: | ||
Si considerem tot l'estel, la part esuqerra s'anul·la ja que $P(R) \to 0$ i ens queda: | Si considerem tot l'estel, la part esuqerra s'anul·la ja que $P(R) \to 0$ i ens queda: | ||
$$-3 \int_0^{V_s} P dV = E_{grav}$$ | |||
TODO: Completar del Beamer. | |||
La pressió del gas està relacionada amb la seva energia interna. Pel cas d'un gas ideal monoatòmic: | |||
$$P = nKT = \frac{\rho}{\mu m_u} kTm$$ | |||
on $n = N/V$ (# partícules per unitat de volum) i $\mu$ és la massa d'una partícula del gas en unitats de massa atòmica. | |||
L'energia cinètica per partícula ve donada per $\varepsilon_k = (3/2) kT$. Per a un gas, l'energia interna és la suma de l'energia cinètica de totes les seves partícules. L'energia interna per unitat de massa és per tant: | |||
$$u = \frac{3}{2} \frac{kT}{\mu m_u}$ = \frac{3}{2} \frac{P}{\rho}$$ | |||
TODO: Completar això del Beamer | |||
Arribem així a l'equació del Teorema del Virial per a un gas ideal: | |||
$$E_{int} = - \frac{1}{2} E_{grav}$$ | |||
--- | |||
Donada una equació d'estat genèrica $u = \Phi P/\rho$ ($\Phi = 3/2$ és un gas de partícules no relativistes, per exemple el gas ideal; $\Phi = 3$ per partícules relativistes), si $\hi$ és constant en tot l'estel, integrant l'eq obtenim: | |||
$$E_int = - \frac{1}{3} \Phi E_{grav}$$ | |||
Una lectura de la fórmula: com més lligat estigui gravitacionalment un estel, més gran serà la seva energia interna (i per tant augmentant la seva temperatura). | |||
=== Estima de la temperatura central === | |||
Utilitzant el Th. Virial, podem estimar-la per un estel composat per gas ideal. L'energia gravitacional és: | |||
$$E_\text{grav} = - \alpha \frac{GM^2}{R}$$ | |||
on $\alpha$ és const. de l'ordre de la unitat determinat per la forma de $\rho(r)$. Utilitzant l'eq. (55) per l'energia interna de l'estel: | |||
$$E_{int} = \frac{3k}{2 \mu m_u} \int T dm = \frac{3k}{2 \mu m_u} \bar{T} M$$ | |||
Aplicant el teorema del Virial: | |||
$$\bar{T} = \frac{\alpha}{3} \frac{\mu m_u}{k} \frac{GM}{R}$$ | |||
Com que la temperatura en un estel creix cap a l'interior (generalment, però quan emet neutrins una gran quantitat d'energia pot sortir del centre sense interactuar amb la resta de l'estel i per tant eventualment una part interna pot estar més freda que l'exterior; molt estrany), es pot considerar com un límit inferior del valor real de la temperatura al centre de l'estel. | |||
=== Estima de l'energia total d'un estel === | |||
$$E_{tot} = E_{grav} + E_{int} + E_{kin}$$ | |||
Per tant tenim les contribucions de: | |||
* Energia gravitatòria | |||
* Energia interna: per la temperatura del gas. | |||
* Energia cinètica: pel moviment del gas (bulk motion, desplaçament, etc.) | |||
'''L'estel està "lligat" si la seva energia és negativa, $E_{tot} < 0$.''' Això serà principalment per l'energia gravitatòria. | |||
Per un estel en eq. hidrostàtic, podem dir $E_{kin} = 0$. A més, s'aplica el Th. Virial, així que $E_{grav}$ i $E_{int}$ estan relacionades i obtenim (en eq. hidrostàtic): | |||
$$E_{tot} = E_{int} + E_{grav} = \frac{\Phi - 3}{\Phi} E_{int} = (1 - \frac{1}{3} \Phi) E_{grav}$$ | |||
TODO: Comprovar que l'expressió anterior és correcta. | |||
Per gas ideal ($\Phi = 3/2$): | |||
$$E_{tot} = - E_{int} = \frac{1}{2} E_{grav} < 0$$ | |||
Conclusions: | |||
* Els estels han d'estar calents per mantindre l'eq. hidrostàtic (proporcionat per la calor). Com més compacte sigui, més fortament lligat, i més calent serà. | |||
* Una esfera de gas calent radia a través de la seva superfície i per tant perdrà energia. El ritme amb el qual radia es diu lluminositat L. | |||
** En absència de qualsevol font interna d'energia, aquestes pèrdues radiatives s'han d'igualar amb la disminució de l'energia total de l'estel: $L = - dE_{tot}/dt > 0$ (positiva per convenció.) | |||
** Prenent la derivada temporal es pot veure que com a conseqüència d'aquestes pèrdues d'energia: $\dot{E}_{grav} = - 2L < 0$ (i per tant l'estrella es contrau) mentre que $\dot{E}_{int} = L > 0$, és a dir, es calenta. | |||
* Si l'estel està dominat per la pressió de radiació (o més generalment per la pressió de partícules relativistes), tenim $E_{int} = -E_{grav}$ i, per tant, l'energia total és $E_{tot} = 0$. És a dir, l'estel està només marginalment lligat i una petita pertorbació és suficient per fer-lo inestable, explotant o col·lapsant. | |||
=== Equilibri tèrmic === | |||
Quan una font d'energia interna està present (ex: reaccions nuclears a l'interior), llavors les pèrdues d'energia des de la superfície es compensen: | |||
$$L = L_{nuc} = - \frac{dE_{nuc}}{dt}$$ | |||
En aquest cas l'energia total es conserva, i per tant per l'eq. (64) $\dot{E}_{tot} = \dot{E}_{int} = \dot{E}_{grav} = 0$. El Th. del Virial per tant comporta que tant l'e. int com e. gravitacional també es conserven: l'estel no pot, per exemple, contraure's i refredar mentre manté la seva energia total constant. | |||
L'estel es troba llavors en equilibri tèrmic. '''L'energia que es radia és igual a la que es produeix amb les reaccions nuclears.''' L'estel ni s'expandeix ni es contrau, i manté constant la seva temperatura (el seu gradient de temperatures), que va regulada per les mateixes reaccions nuclears. Els estels en la seqüència principal, com el Sol, estan en equilibri tèrmic mentre no esgotin el seu combustible nuclear. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
