709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:29, 27 September 2021
, 15:29, 27 September 2021Partial save
(Fi de la classe) |
(Partial save) |
||
| Line 221: | Line 221: | ||
L'estel es troba llavors en equilibri tèrmic. '''L'energia que es radia és igual a la que es produeix amb les reaccions nuclears.''' L'estel ni s'expandeix ni es contrau, i manté constant la seva temperatura (el seu gradient de temperatures), que va regulada per les mateixes reaccions nuclears. Els estels en la seqüència principal, com el Sol, estan en equilibri tèrmic mentre no esgotin el seu combustible nuclear. | L'estel es troba llavors en equilibri tèrmic. '''L'energia que es radia és igual a la que es produeix amb les reaccions nuclears.''' L'estel ni s'expandeix ni es contrau, i manté constant la seva temperatura (el seu gradient de temperatures), que va regulada per les mateixes reaccions nuclears. Els estels en la seqüència principal, com el Sol, estan en equilibri tèrmic mentre no esgotin el seu combustible nuclear. | ||
''Data: 23 de setembre de 2021'' | |||
TODO: EN PAPER. Copiar aquí. (o penjar escaneig) | |||
''Data: 27 de setembre de 2021'' | |||
=== Equacions d'estat === | |||
L'equació d'estat (EOS) descriu les propietats microscòpiques del gas que forma l'estel, donades la $\rho$, $T$ i $X_i$ (composició química), expressada com funció de la pressió $P$ depenent d'aquestes variables: | |||
$$P = P(\rho, T, X_i)$$ | |||
Emprant una equació similar per l'energia interna $U(\rho, T, X_i)$ podrem derivar propietats termodinàmiques com el calor específic $c_v$ i $c_p$, l'exponent adiabàtic $\gamma_{ad}$ i el gradient de temperatura adiabàtic $\grad_{ad}$. | |||
L'equació d'estat per a un gas ideal ja la coneixem: | |||
$$P = nKT = \frac{k}{\mu m_u} \rho T,$$ | |||
on $\mu$ és pes molecular mig i $m_u$ massa atòmica. | |||
--- | |||
* Gas ideal: partícules responen a les lleis de la física clàssica. | |||
** Efectes mecànico-quàntics, de la relativitat especial, poden ser importants (sobretot part interna estels). | |||
*** En particular: fotons són partícules relativistes per definició. Juguen un paper bàsic per la pressió de radiació. | |||
* Gas "perfecte": les partícules no interactuen entre elles (energies d'interacció petites comparades amb l'energia cinètica). | |||
** Podem tractar les partícules independentment. Energia interna = energia cinètica de totes les partícules. | |||
** La mecànica estadística ens permet derivar les propietats del gas en el límit clàssic (gas ideal) i en el quàntic (degeneració dels electrons p. e.x). Tant en un règim relativista (vàlid p. ex. pels fotons) com no-relativista. | |||
=== Equació d'estat per un gas de partícules lliures === | |||
Derivarem l'eq. d'estat partint dels principis de la mecànica estadística. Ens donarà idees de ions, electrons i fotons en l'interior estelar. | |||
* $n(p)$: distribució en l'"espai de moments" de les partícules del gas. | |||
* $n(p) dp$ representa el nombre de partícules per unitat de volum amb moment $p \in [p, p + dp]$. | |||
Si coneixem $n(p)$ llavors podem definir l'energia interna $U$ i la pressió $P$: | |||
$$n = \int_0^\infty n(p) dp$$ | |||
$$U = \int_0^\infty \varepsilon_p n(p) dp = n \langle \varepsilon_p \rangle$$ | |||
$$P = \frac{1}{3} \int_0^\infty p v_p n(p) dp = \frac{1}{3} n \langle p v_p \rangle$$ | |||
En aquestes expressions $\varepsilon_p$ és l'energia cinètica d'una partícula donada amb moment $p$ i velocitat $v_p$. | |||
L'única condició que hem posat és que les partícules podem tractar-les individualment. | |||
Considerem un gas amb $n$ partícules a dins d'un cub de dimensions $L$. Cada partícula (moment $p$, velocitat $v$) rebota en les parets del cub en una direcció determinada per l'angle $\theta$, exercint una pressió que resulta de la transferència de moment impartida en les col·lisions. | |||
El temps que passa entre 2 col·lisions sobre la mateixa cara és: | |||
$$\Delta t = \frac{2L}{v \cos \theta} = \frac{2 \text{ m}}{v \cos \theta}$$ | |||
Suposem col·lisions elàstiques (no perd energia/moment). $\delta p = 2p \cos \theta$. El moment transferit per unitat de temps per cm<sup>2</sup> serà: | |||
$$\frac{\Delta p}{\Delta t} = v p \cos^2 \theta$$ | |||
El nombre de partícules al cub amb moment $p \in [p, p + dp]$ i angle $\theta \in [\theta, \theta + d\theta]$ es denota per $n(\theta, p) dp d\theta$. La contribució a la pressió d'aquestes partícules ve donada doncs per: | |||
$$dP = v p \cos^2 \theta n(\theta, p) d\theta dp$$ | |||
La distribució del moment és isotròpica, així que prenent l'angle sòlid sostingut per cada partícula que es mou en la direcció $\theta \in [\theta, \theta + d\theta]$ com $dw = 2 \pi \sin \theta d\theta$. Tindrem: $n(\theta, p) d\theta = n(p) \sin\theta d\theta$ i per tant: | |||
$$dP = v p n(p) \cos^2 \theta \sin \theta d\theta dp$$ | |||
La '''pressió total''' s'obté llavors en integrar sobre tots els angles i moments ($\theta \in [0, \pi/2]$). Donat que | |||
$$\int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \sin \theta d\theta = \int_0^1 \cos^2 \theta d \cos\theta = \frac{1}{3}$$ | |||
recuperem d'aquesta manera l'expressió: $P = (1/3= n \langle p v_p \rangle$. | |||
=== Pressió i energia interna === | |||
En general: energia partícules i velocitat relacionades a través del moment segons la relativitat especial: | |||
$$\varepsilon^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4, \quad v_p = \partial_p \varepsilon = \frac{pc^2}{\varepsilon}$$ | |||
mentre que l'energia cinètica per partícula ve donada per $\varepsilon_p = \varepsilon - mc^2$. Podem ara obtindre relacions generals vàlides entre la pressió i l'energia interna per a un gas perfecte en el cas no-relativista: | |||
* Cas no-relativista: $p < mc \implies \varepsilon_p = (1/2)p^2/m$ i $\langle pv \rangle = \langle p^2/m \rangle = 2 \langle \varepsilon_p \rangle$, donant: | |||
$$P = \frac{2}{3} U$$ | |||
Així doncs, la pressió d'un gas equival a 2 terceres parts de l'energia interna del gas. | |||
* Cas (ultra)relativista: $p \gg mc \implies \varepsilon_p = pc, v = c$, de manera que $\langle pv \rangle = \langle pc \rangle = \langle \varepsilon_p \rangle$ i doncs: | |||
$$P = \frac{1}{3} U$$ | |||
Aquestes relacions són, en general, vàlides per qualsevol tipus de partícula (electrons, ions, fotons, etc.). | |||
=== El gas ideal (clàssic) === | |||
Mitjançant la física estadística podem desenvolupar l'equació del gas ideal. La distribució en l'espai de moments $n(p)$ ve per l'eq. de Maxwell-Boltzmann. | |||
TODO: Copiar eq. | |||
* $\exp(- \frac{\varepsilon^2}{kT})$ és la distribució en equilibri de l'energia cinètica. | |||
* $4 \pi p^2 dp$ és el volum en l'espai de moments. | |||
* $n/(2 \pi mkT)^{3/2}$ ve de la normalització de la densitat total de partícules $n$. | |||
Prenent $v = p/m$ i substituint a l'eq. anterior, obtenim: | |||
$$P = nKT$$ | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
