709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:36, 29 September 2021
, 15:36, 29 September 2021Partial save
(Partial save) |
(Partial save) |
||
| Line 411: | Line 411: | ||
$p_F$: moment de Fermi (moment màxim de la distribució quàntica quan $T \to 0$). | $p_F$: moment de Fermi (moment màxim de la distribució quàntica quan $T \to 0$). | ||
--- | |||
* En les darreres etapes d'evolució estelar: T i densitat molt altes al nucli. La pressió tèrmica pot contrarrestar la força de la gravetat. | |||
* A mesura que es consumeixen les reserves nuclears: cada cop més difícil mantindre eq. hidrostàtic. | |||
** Les T no són massa altes per poder cremar els elements pesats. | |||
** O directament apareixen procesos endotèrmics. | |||
* La contracció del nucli estel·lar afecta també els electrons dels àtoms que el composen, i el gas d'electrons esdevé degenerat. | |||
** La pressió de degeneració, és a dir, el compliment del principi d'exclusió de Pauli pel gas fermiònic d'electrons, és la responsable d'aturar la contracció del nucli un cop tot l'altre no pot suportar-ho. | |||
=== L'energia de Fermi === | |||
$\varepsilon_F$: energia de Fermi: màxima energia que un fermió (ex: electró) pot tenir en un gas completament degenerat a temperatura $T = 0$. | |||
TODO: Afegir gràfica Beamer. | |||
Per determinar $\varepsilon_F$, imaginem una capsa dels costats de longitud $L$. Prenent els electrons com a ones estacionàries dins de la capsa. Les longituds d'ona $\lambda$ vindran donades, en cada direcció, per: | |||
$$\lambda_x = \frac{2L}{N_x}, \quad \lambda_y = \frac{2L}{N_y}, \quad \lambda_z = \frac{2L}{N_z},$$ | |||
on $N_x, N_y, N_z$ són nombres quàntics enters. Donat que $p = h/\lambda$ (de Broglie): | |||
\[ p_x = \frac{h N_x}{2L}, \ldots \] | |||
TODO: Completar puntets | |||
L'energia cinètica ve donada per: | |||
$$\varepsilon_{kin} = \frac{p^2}{2m}$$ | |||
on $p^2 = \sum_i p_i^2$ i, per tant: | |||
$$\varepsilon_{kin} = \frac{h^2}{8 m L^2}(N_x^2 + N_y^2 + N_z^2) = \frac{h^2 N^2}{8 m L^2}.$$ | |||
$N^2 = \sum_i N_i^2$ es pot entendre com "distància" des de l'origen de l'espai de les fases N fins al punt $(N_x, N_y, N_z)$ donat. | |||
* # total d'electrons del gas: # total d'estats quàntics únics definits per $N_x, N_y, N_z$, multiplicat per 2 (spin). | |||
* És a dir, cada punt de l'"espai-N" és un estat quàntic de dos electrons. | |||
* Per N gran, podem comptar els estats fins arribar a un radi $N = \sqrt{N^2}$. Comptem un octant ($N_i > 0$). Així doncs: | |||
$$N_e = 2 \frac{1}{8} \ldots$$ | |||
TODO: COMPLETAR els puntets | |||
Aïllem $N$ i substituïnt l'energia ciǹetica dels electrons, ens queda: | |||
$$\varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} (e \pi^2 n_e)^{2/3}$$ | |||
on $m$ és la massa de l'electró i $n_e := N_e/L^3$ el nombre d'electrons per unitat de volum. | |||
Les densitats típiques trobades en les nanes blanques (substituint massa d'electró): $\varepsilon_F \approx 0.3 \text{ MeV}$. | |||
EXERCICI: Demostreu que la distribució dels electrons en els estats quàntics definits amb energia $\varepsilon$ ve donada per: | |||
$$g(\varepsilon) = \frac{3}{2} \frac{N}{\varepsilon_F} \left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon_F}\right)^{1/2}$$ | |||
i que l'energia promig per ... és ... | |||
TODO: Completar | |||
=== Grau de degeneració === | |||
$T > 0$, hi ha estats per sota de $\varepsilon_F$ no ocupats. | |||
$$n_e = \frac{# electrons}{nucleó}\frac{#nucleons}{volum} = \left( \frac{Z}{A} \right) \frac{\rho}{m_H}$$ | |||
$Z, A$ és nombre de protons i nucleons (resp.) i $m_H$ és la massa de l'àtom d'hidrogen ($\approx m_{protó}, m_{neutró}$). | |||
Substituïnt a l'equació: | |||
$$\varepsilon_F = ...$$ | |||
TODO: Completar Grrrrrr | |||
Podem comparar aquesta expressió per $\varepsilon_F$ amb l'energia tèrmica promig dels electrons en el gas, $\approx \frac{3}{2} K_B T$. | |||
En primera aproximació, si $\frac{3}{2} KB T < \varepsilon_F$, l'electró no podrà fer la transició a un estat no ocupat a energies per sobre de l'energia de Fermi i, per tant, el gas d'electrons estarà degenerat: | |||
$$\frac{3}{2} K_B T < \frac{\hbar^2}{2 m_e} \left[ 3 \pi^2 \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_H^3} \right]^{2/3} \iff \frac{T}{\rho^{2/3}} < \frac{\hbar^2}{3 m_e K_B} \left[ \frac{3 \pi^2}{m_H} \frac{Z}{A} \right]^{2/3} \equiv D$$ | |||
i la condició de degeneració es pot expressar com: | |||
$$\frac{T}{\rho^{2/3}} < D ) 1.261 \text{ K m}^2 \text{ Kg}^{-2/3}$$, Z/A=0.5. | |||
Temperatures baixes o densitats elevades: degeneració. | |||
=== Pressió de degeneració === | |||
Ens basarem en Principi d'Exclusió de Pauli i Principi d'Incertesa de Heisenberg: | |||
$$\Delta x \Delta p_x \geq \hbar$$ | |||
* Considerem hipòtesi: tots els electrons amb el mateix moment. | |||
* La pressió dels electrons és: | |||
$$P \approx \frac{1}{3} n_e p v$$ | |||
on $n_e$ la densitat d'electrons i $v$ la velocitat dels electrons. | |||
* Gas degenerat: electrons "empaquetats" i, per $n_e$ uniforme, la separació entre ells és $\sim n_e^{-1/3}$. | |||
* Situació de degeneració complerta: l'incertesa en la seva posició no pot ser més gran que la seva separació física. | |||
* Identificant $\Delta x \approx n_e^{-1/3}$ (pel cas límit del gas completament degenerat), obtenim: | |||
$$p_x \approx \Delta p_x \approx \frac{\hbar}{\Delta x} \approx \hbar n_e^{1/3}$$ | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
