709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:51, 29 September 2021
, 15:51, 29 September 2021Fi de la classe
(Partial save) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 491: | Line 491: | ||
$$p_x \approx \Delta p_x \approx \frac{\hbar}{\Delta x} \approx \hbar n_e^{1/3}$$ | $$p_x \approx \Delta p_x \approx \frac{\hbar}{\Delta x} \approx \hbar n_e^{1/3}$$ | ||
A 3D, tenim $\vec{p}$, i $p_x^2 = p_y^2 = p_z^2$ (equipartició de l'energia en les 3 direccions). $p^2 = 3 p_x^2 \implies p = \sqrt{3} p_x$. | |||
Prenent la densitat electrònica d'un gas completament degenerat ($n_e = Z/A \rho/m_H$), obtenim: | |||
$p \approx \sqrt{3} \hbar \left[ ... \right]^{...}$$ | |||
TODO: Completar | |||
mentre que la velocitat ve donada per: | |||
$$v = p/m_e = \frac{\sqrt{3} \hbar}{m_e} \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{1/3}$$ | |||
Prenent l'equació $P \approx (1/3) n_e p v$ (equació 4 al Beamer), obtenim la pressió de degeneració: | |||
$$P \approx \frac{\hbar^2}{m_e} \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{5/3}$$ | |||
Si s'integra correctament, obtenim: | |||
$$P = \frac{(e \pi^2)^{2/3}}{4} \frac{\hbar^2}{m_e} n_e^{5/3}$$ | |||
Aquest desenvolupament que hem fet és vàlid per un gas NO relativista. Veiem que si la densitat creix, la velocitat creix i, per tant, podem posar-nos en el cas (ultra)-relativista. | |||
Emprant un altre cop l'equació 101 del Beamer: | |||
$$P = \frac{(3 \pi^2)^{2/3}}{5} \frac{\hbar^2}{m_e} \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{5/3}$$ | |||
==== Exemple Sirius B ==== | |||
$Z/A = 0.5 \implies P \sim 2e10^{22} \text{ N m}^{-2}$ i la pressió gravitatòria és similar. | |||
TODO: Completar del Beamer. | |||
=== El límit de Chandrasekhar === | |||
1931: Chandrasekhar publica que existeix una massa màxima per les nanes blanques degut a la pressió de degeneració. | |||
S'agafa la $P_c$ d'abans (pressió de degeneració). Utilitzant $\rho_{WD} = M_{WD}/(4/3)\pi R^3_{WD}$ s'obté una expressió pel radi de l'estel: | |||
$$R_{WD} = \frac{(18 \pi)^{2/3}}{10} \frac{\hbar^2}{G m_e M_{WD}^{1/3}} \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{5/3}$$ | |||
L'expressió per $R$ indica $M_{WD} R_{WD}^3 = cte$, és a dir, $M_{WD} \cdot V_{WD} = cte.$ | |||
Per tant, com més massiva és la nana blanca, més confinats hauran d'estar confinats els electrons. A mesura que augmentem la massa, també ho fa la densitat ($\rho_{WD} \propto M_{WD}^2$). | |||
Llindar $\rho_{WD} \approx 10^9 \text{ kg m}^{-3}$: expressió de les velocitats deixa de ser correcta (efectes relativistes entren en joc). En aquest cas ($v = c$): | |||
$$P = \frac{(3 \pi^2)^{1/3}}{4} \hbar^2 c \left[ \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_h} \right]^{4/3}$$ | |||
* Cas no-relativista: pressió de degeneració té dependència politròpica del tipus ... | |||
TODO: Completar | |||
Per obtindre un valor aproximat per la massa màxima que una nana blanca pot assolir, s'iguala la pressió del centre de l'estel amb la pressió de degeneració relativista. Obtenim la massa de Chandrasekhar. | |||
TODO: Completar desenvolupament del Beamer. | |||
$$M_{Ch} \approx \frac{3 \sqrt{2 \pi}}{8} \left( \frac{\hbar c}{G} \right)^{3/2} \left[ \left( \frac{Z}{A} \right) \frac{1}{m_h} \right]^2$$ | |||
Per Z/A = 0.5, $M_{Ch} = 1.44 M_\odot$ (anomenada massa límit de Chandrasekhar). A data d'avui: no s'ha descobert cap nana blanca amb una massa superior. | |||
Per sobre de la massa límit de Chandrasekhar: forat negre. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
