709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 14:33, 1 October 2021
, 14:33, 1 October 2021Afegida classe 30/09/2021 (escrita sense Internet)
(Fi de la classe) |
(Afegida classe 30/09/2021 (escrita sense Internet)) |
||
| Line 542: | Line 542: | ||
Per sobre de la massa límit de Chandrasekhar: forat negre. | Per sobre de la massa límit de Chandrasekhar: forat negre. | ||
__Data: 30 de setembre de 2021__ | |||
=== Règims de l'equació d'estat estel·lar === | |||
Hem vist que els estels poden tenir diversos tipus de fonts de pressió que els mantenen contra la força exercida per la gravetat. La pressió dominant en l'equació d'estat dependrà de les condicions de temperatura $T$ i densitat $\rho$. Les diferents regions en l'espai $\log T$ - $\log \rho$ venen representades en la figura següent (cadascuna indica quina pressió predomina). | |||
TODO: Afegir 2 gràfics del Beamer | |||
* La frontera entre les regions on la pressió de radiació i la del gas ideal dominen està definida per $P_{rad} = P_{gas}$. Prenent les equacions corresponents tenim $T / \rho^{1/3} = 3.2e7 \mu^{-1/3}$. Aquesta relació forma per tant una línia amb pendent $1/3$ en el pla $\log T$ - $\log \rho$. | |||
* Frontera entre regions gas ideal-pressió de degeneració per un gas no relativista: es defineix a partir de la igualtat $P_{gas} = P_{deg, NR} \implies T/\rho^{2/3} = 1.21e5 \mu \mu_e^{-5/3}$ (en unitats cgs). | |||
** Només a temperatures molt elevades podem fer una transició directa a electrons relativistes. | |||
* Transició règims relativista-no relativista: en aquest cas no hi ha dependència en $T$: $\rho = 9.7e5 \mu_e$. | |||
** A densitats molt altes la frontera entre gas ideal i electrons relativistes degenerats ve definida per $T/\rho^{1/3} = 1.5e7 \mu \mu_e^{-4/3}$ (unitats cgs) formant també una línia amb pendent 1/3. | |||
== Tema 2.6 - Models politròpics estel·lars == | |||
La dependència en T de l'equació d'estat fa que es requereixin eqs. addicionals per resoldre les equacions mecàniques d'equilibri hidrostàtic. Si només depèn de $\rho$, llavors l'estructura mecànica de l'estel està completament determinada. | |||
* Cas especial: $P(\rho)$ ve donada pels models politròpics: | |||
$$P = K P^\gamma,$$ | |||
on $K$ és constant de normalització, $\gamma$ ens indica la dependència funcional de $P$ i $\rho$. | |||
** És una aproximació útil que ens permet estimar la relació entre paràmetres i resoldre l'equació d'estat (?). | |||
** S'ajusten molt a l'eq. d'estat real. | |||
Per una eq. d'estat en forma politròpica, combinant les eqs. de continuació de massa $dm/dr$ i d'eq. hidrostàtic $dP/dr$ poden donar lloc a l''''equació diferencial de segon ordre per a la densitat''': | |||
$$\frac{1}{\rho r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \rho^{\gamma - 2} \frac{d\rho}{dr} \right) = \frac{4 \pi G}{...}$$ | |||
on $\gamma$ s'anomena el ... | |||
TODO: COMPLETAR | |||
Per tal de construir un model estel·lar politròpic hem de resoldre l'eq. amb les condicions de contorn: | |||
$$\rho(r = 0) = \rho_c, \quad \rho(r = R) = 0.$$ | |||
$\rho_c$ és determinat mitjançant altres relacions. | |||
Per resoldre l'eq. prenem el canvi de variables $\rho = \rho_c w^n$ i $r = \alpha z$, amb $\alpha = \left( \frac{n + 1}{4 \pi G} K \rho_c^{1/(n - 1)} \right)^{1/2}$ | |||
L'equació que resulta és l''''equació de Lane-Emden''': | |||
$$\frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left( z^2 \frac{dw}{dz} \right) + w^n = 0.$$ | |||
Això ens permetrà saber l'estructura de l'estel. Fem-ho: | |||
<-- Pissarra time! --> | |||
Partim de les equacions d'equilibri hidrostàtic: | |||
$$\frac{dP}{dR} = - \frac{G m(r) \rho}{r^2},$$ | |||
$$\frac{dm}{dr} = 4 \pi r^2 \rho.$$ | |||
A més, tenim l'eq. d'estat politròpica: | |||
$$P = k \rho^\gamma$$ | |||
Prenem la primera equació, i fem: | |||
$$\frac{r^2}{\rho} \frac{dP}{dr} = - G m(r) \implies \frac{d}{dr} \left[ \frac{r^2}{\rho} \frac{dP}{dr} \right] = - G \frac{d}{dr} m(r) = - G 4 \pi r^2 \rho \implies$$ | |||
$$\frac{1}{r^2 \rho} \frac{d}{dr} \left[ \frac{r^2}{\rho} \frac{dP}{dr} \right] = - 4 \pi G.$$ | |||
Prenem la tercera equació: | |||
$$\frac{dP}{dr} = K \gamma \rho^{\gamma - 1} \frac{d\rho}{dr}$$ | |||
Substituint al que hem obtingut de la primera equació: | |||
$$\frac{1}{r^2 \rho} \frac{d}{dr} \left[ \frac{r^2}{\rho} K \gamma \rho^{\gamma - 1} \frac{d \gamma}{dr} \right] = - 4 \pi G \implies$$ | |||
$$\implies \frac{1}{r^2 \rho} \frac{d}{dr} \left[ r^2 \rho^{\gamma - 2} \frac{d \gamma}{dr} \right] = - \frac{4 \pi G}{K \gamma}.$$ | |||
Aquesta eq. és la que hem posat a la diapositiva anterior abans de fer el canvi de variables. És útil pel següent: | |||
Canvi de variables: $\rho = \rho_c w^n$, $r = \alpha z$, tq $\gamma = 1 + \frac{1}{n} \iff n = \frac{1}{\gamma - 1}$. | |||
Obtenim: | |||
$$\frac{1}{\rho_c w^n} \frac{1}{(\alpha z)^2} \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dz} \left[ (\alpha z)^2 \rho^{\frac{1}{n} - 1} \rho_c \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dz}(w^n) \right] = - \frac{4 \pi G}{k \gamma} \implies$$ | |||
$$\implies \frac{1}{\cancel{\rho_c} w^n} \frac{1}{\cancel{\alpha^2}} \frac{1}{z^2} \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dz} \left[ \cancel{\alpha^2} z^2 (\rho_c w^n)^{\frac{1}{n} - 1} \cancel{\rho_c} \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dz}(w^n) \right] = - \frac{4 \pi G}{k \gamma} \implies$$ | |||
$$\implies \rho_c^{\frac{1}{n} - 1} \frac{1}{w^n} \frac{1}{z^2} \frac{1}{\alpha^2} n \frac{d}{dz} \left[ z^2 \frac{dw}{dz} \right] = - \frac{4 \pi G}{k \gamma} \implies$$ | |||
$$\implies \frac{1}{w^n} \frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left[ z^2 \frac{dw}{dz} \right] = - \frac{4 \pi G}{k \gamma} \frac{1}{\rho_c^{\frac{1}{n} - 1}} \frac{\alpha^2}{n} \implies$$ | |||
Això ens porta a definir: | |||
$$\alpha := \left[ \frac{n + 1}{4 \pi G} K \rho_c^{\frac{1}{n} - 1} \right]^(1/2)$$ | |||
I per tant l'expressió queda: | |||
$$\frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left[ z^2 \frac{dw}{dz} \right] + w^n = 0,$$ | |||
que és l''''equació de Lane-Emden'''. | |||
Aquest procediment es pot fer també amb altres eqs. d'estat, i ens permetrà descriure l'estructura. | |||
L'eq. relaciona la densitat amb la coordenada radial. | |||
<!-- Fi pissarra :(( --> | |||
Integrant l'equació podrem obtindre'n la solució en funció de $n$ índex politròpic. Les condicions de contorn ara són $w = 1$ i $\frac{dw}{dz} = 0$ (la densitat tendeix a 0 al centre) al centre de l'estel ($z = 0$). | |||
* No existeix una solució general analítica. Les úniques excepcions són $n = 0, 1, 5$. | |||
** $n = 0: \quad w(z) = 1 - \frac{z^2}{6}, z_0 = \sqrt{6}$ | |||
** $n = 1: \quad w(z) = \frac{\sin z}{z}, z_1 = \pi$ | |||
** $n = 5: \quad w(z) = \left( 1 + \frac{z^2}{3} \right)^{-1/2}, z_1 = \infty$ | |||
* Per $n < 5$, $w(z)$ decreix monòtonament arribant a 0 per valors finits de $z$ ($z \equiv z_n$) ($w = 0$ correspon a la superfície del model estelar). | |||
** Per $n = 5$ es tendeix assimptòticament al 0 (a l'infinit). | |||
NOTA: Bon exercici graficar-les numèricament. | |||
TODO: Afegir gràfica del Beamer | |||
Un cop tenim la solució $w(z)$, podem utilitzar l'Eq. 115 del Beamer per fixar la distribució de la densitat, que ve determinada únicament per l'índex $n$. Les altres propietats com $M$ o $R$ venen determinades pels paràmetres $K$ i $\rho_c$: | |||
$$R = \alpha z_n$$ | |||
$$m(z) = \int_0^{\alpha z} 4 \pi r^2 \rho dr = - 4 \pi \alpha 3 \rho_c z^2 \frac{dw}{dz} \implies$$ | |||
$$\implies M = 4 \pi \alpha^3 \rho_c \Theta_n$$ | |||
on $\Theta_n = (-z^2 dw/dz)_{z = z_n}$. | |||
Eliminant $\rho_c$ de les equacions anteriors trobem la relació entre $M$, $R$ i $K$: | |||
$$K = N_n GM^{(n - 1)/n} R^{(3-n)/n} \text{ amb } N_n = \frac{(4 \pi)^{1/n}}{n + 1} \Theta^{(1-n)/n} z^{(n-3)/n}.$$ | |||
* En els casos $n = 1$, $n = 3$, $K$ no dependrà de la massa o del radi respectivament. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
