709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:50, 1 October 2021
, 15:50, 1 October 2021Fi de la classe
(Partial save) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 673: | Line 673: | ||
$$E_{grav} = - \frac{3}{5 - n} \frac{GM^2}{R}.$$ | $$E_{grav} = - \frac{3}{5 - n} \frac{GM^2}{R}.$$ | ||
=== Exemples de models politròpics: les nanes blanques === | |||
L'exemple per antonomàsia, a l'igual que estels de neutrons (però n'hi ha moltes més nanes blanques). | |||
* Són estels densos i han acabat el seu cicle estel·lar. Dominats per degeneració electrònica. Han cremat tot l'hidrogen convertint-lo en Heli (i en molts casos també a carboni i oxigen). | |||
* Pressió de degeneració i estructura: depenen només de la temperatura. | |||
** Model politròpic: bon model per estudiar-les. | |||
* Vàrem veure que tenien una massa màxima (Chandrasekhar). | |||
** Aquesta propietat també es pot derivar del fet que $P \propto \rho^{4/3}$ (és a dir $\gammna = 4/3$). $\gamma = 1 + \frac{1}{n} \implies n = 3$ (massa és independent del radi i només depèn de $K$). | |||
** Utilitzant l'expressió ens dona la massa de Chandrasekhar. | |||
Estrelles de neutrons: violació de la massa límit degut a la rotació, que fa que la massa límit sigui inferior, o camps magnètics, etc. | |||
=== Exemples de models politròpics: el model estàndard d'Eddington === | |||
Exemple en què $K$ no està determinat per les constants físiques, és un paràmetre lliure. Es basa en asumir que la pressió total ve donada per la del gas ideal + radiació. | |||
$\beta := P_{gas}/P_{total}$. Considerem que sigui constant a tot l'estel. $P_{gas} = (\mathcal{R}/\mu) \rho T$ i, per tant: | |||
$$P_{tot} = \frac{1}{\beta} \frac{\mathcal{C}}{\rho} T.$$ | |||
TODO: A l'expressió anterior falta una $\mu$. | |||
$1 - \beta = P_{rad}/P_{tot} = a T^4 / 3P$. Substituint per $T^4$ ens queda: | |||
$$P = \left( \frac{3 \mathcal{R}^4}{a \mu^4} \frac{1 - \beta}{\beta^4} \right)^{1/3} \rho^{4/3},$$ | |||
que és una equació d'estat politròpica amb $n = 3$ i depenent d'una constant $\beta$. Ara bé, com que $\beta \in [0, 1]$ la constant $K$ no està fixada, sinó que prendrà el valor que li pertoqui en funció de $\beta$. | |||
== Tema 2.7 - Equilibri tèrmic == | |||
=== Transport d'energia a l'interior dels estels === | |||
* Energia que perd l'estel és generada al seu interior. Hi ha per tant un flux net d'energia de dins cap enfora, que es dona en cadascuna de les capes. | |||
* Per tant hi ha mecanismes físics que permeten transportar l'energia cap a fora. | |||
** I els mateixos mecanismes han de funcionar en rangs alts de paràmetres de l'estrella (per estrelles grans i petites per exemple). | |||
** Això implica gradient de temperatura aprox. radial per les diferents capes. | |||
* A l'interior hi ha LTE (equilibri termodinàmic local) i lliure recorregut mig $\mathcal{l}$ curts (tant per fotons com per partícules). | |||
* Processos per transportar energia són: | |||
** '''Difusió''': moviment tèrmic aleatori (moviment brownià o maxwellià). | |||
*** '''Conducció del calor''': partícules. | |||
*** '''Difusió radiativa''': fotons. | |||
** '''Convecció''': bombolles de gas que pugen (s'expandeixen pq la pressió és més baixa) i baixen. A més de transportar energia de dins cap a fora, barreja i per tant és també un procés regulador. | |||
* Th. Virial: vam veure energia total. Per tal d'estudiar la conservació a nivell local, hem de tenir en compte els principis de la termodinàmica per l'interior estel·lar. | |||
* Hem de considerar processos que es donen en temps d'escala relativament curts (e.g. $t_{\text{dyn}}$ en els quals no hi ha intercanvi de calor amb l'ambient ('''processos adiabàtics'''). Per tractar-los necessitarem així mateix derivades termodinàmiques (de $P$, $\rho$, $T$, etc.). | |||
Principis termodinàmica: | |||
1. $\delta Q = \delta U + \delta W = \delta U + P \delta V$. | |||
2. Procés físic reversible: entropia és la calor dividida entre temperatura. | |||
3. Entropia d'un sistema tendeix a un valor constant quan la temperatura tendeix al zero absolut. És a dir, li podem donar un valor que queda fixat. | |||
Combinació dels 2 primers principis (minúscules vol dir "per unitat de massa", ex: $u = U/\rho$): | |||
$$dq = T ds = du + P d\mathcal{V} = d - \frac{P}{\rho^2} d\rho.$$ | |||
$\mathcal{V} = \frac{1}{\rho}$ (volum per unitat de massa). | |||
Per temps d'escala curts donats per $\delta t$, el canvi d'energia interna es pot escriure com: | |||
$$\delta u = \delta q + \frac{P}{\rho^2} \delta \rho$$ | |||
* Compressió: $\delta \rho > 0 \implies u $ | |||
* Expansió: ... | |||
TODO: Completar | |||
Considerem de nou la closca esfèrica, massa donada per $\Delta m$. El bescanvi de calor vindrà donat per $\delta Q = \delta q \Delta m$ que pot venir de: | |||
* Augment donat per les '''reaccions nuclears''' donat per $\varepsilon_{nuc} \text{ [erg s}^{-1}\text{ g}^{-1}\text{]}$. | |||
* Disminució per '''emissió de neutrins''' altament energètics $\varepsilon_{\nu}$ (mateixes unitats). | |||
* Calor emès/absobit en el fluxe de calor entre capes a partir del fluxe d'energia radial $F \text{[erg s}^{-1} \text{ cm^}{-2}\text{]}$, expressat en geometria esfèrica amb la lluminositat local $L_{loc} = 4 \pi r^2 F$. | |||
** A la superfície, $L_{loc} = L_*$ i al centre $L_{loc} = 0$. Per una altra banda, $L_{loc} > 0$ cap enfora i viceversa. | |||
*** Cas extrem: regions centrals més fredes per emissió de neutrins podrien rebre calor. En aquest cas el signe seria negatiu. | |||
Podem escriure per tant: | |||
$$\delta Q = \varepsilon_{nuc} \Delta m \delta t - \varepsilon_{\nu} \Delta m \delta t + L_{loc} (m) \delta t - L_{loc} (m + \Delta m) \delta t$$ | |||
on utilitzen la notació lagrangiana per expressar | |||
$$L_{loc} (m + \Delta m) = L_{loc} (m) + \frac{\partial L_{loc}}{\partial m} \Delta m.$$ | |||
Si dividim entre $\Delta m$ obtenim: | |||
$$\delta q = \left( \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu - \frac{\partial L_{loc}}{\partial m} \right) \delta t.$$ | |||
Combinant ara les eqs. anteriors i prenent límit $\delta t \to 0$, obtenim la '''tercera equació per l'estructura estel·lar''': | |||
$$\frac{\partial L_{loc}}{\partial m} = \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu - \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{P}{\rho^2} \frac{\partial \rho}{\partial t}.$$ | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
