709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:25, 4 October 2021
, 15:25, 4 October 2021Partial save
(Fi de la classe) |
(Partial save) |
||
| Line 746: | Line 746: | ||
Combinant ara les eqs. anteriors i prenent límit $\delta t \to 0$, obtenim la '''tercera equació per l'estructura estel·lar''': | Combinant ara les eqs. anteriors i prenent límit $\delta t \to 0$, obtenim la '''tercera equació per l'estructura estel·lar''': | ||
$$\frac{\partial L_{loc}}{\partial m} = \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu - \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{P}{\rho^2} \frac{\partial \rho}{\partial t}.$$ | $$\frac{\partial L_{loc}}{\partial m} = \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu - \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{P}{\rho^2} \frac{\partial \rho}{\partial t}.$$ | ||
''Data: 4 d'octubre de 2021'' | |||
Per simplificar la notació: | |||
$$\varepsilon_{gr} := - \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{P}{\rho^2} \frac{\partial \rho}{\partial t} = - T \frac{\partial s}{\partial t}$$ | |||
amb s sent l'entropia específica del gas. | |||
* $\varepsilon_{gr} > 0$: l'energia és alliberada desde l'element de massa, per exemple si aquesta sofreix una '''contracció'''. | |||
* $\varepsilon_{gr} < 0$: l'element de massa absorbeix energia, per exemple en el cas d''''expandir-se'''. | |||
Amb aquesta definició de $\varepsilon_{gr}$ la tercera eq. d'estructura estel·lar es queda en: | |||
$$\frac{\partial L_{loc}}{\partial m} = \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu + \varepsilon_{gr}$$ | |||
--- | |||
En cas de trobar-nos en eq. tèrmic, l'estel es troba en estat estacionari i les derivades temporals són nul·les ($\varepsilon_{gr} = 0$), així que: | |||
$$\frac{\partial L_{loc}}{\partial m} = \varepsilon_{nuc} - \varepsilon_\nu.$$ | |||
Si ara integrem per tots els elements de massa: | |||
$$L_* = \int_0^M \varepsilon_{nuc} dm - \int_0^M \varepsilon_\nu dm =: L_{nuc} - L_\nu.$$ | |||
Si negligim $L_\nu$, aleshores $L_{nuc} = L_*$. És a dir, l'energia que es radia a la superfície de l'estel és la mateixa que produeixen les reaccions nuclears al seu interior. | |||
=== Transport de l'energia per difusió === | |||
Què passaria si, en un estel en equilibri tèrmic, s'aturessin tots els processos termonuclears? La resposta és que, almenys inicialment, no passaria pràcticament res de res. | |||
* La densitat de l'estel és tan elevada que els fotons que transmeten l'energia fan que la seva distància típica d'interacció sigui molt curta (i triga molt temps en propagar-se per l'estel). | |||
** Per tant la radiació queda atrapada a l'interior i els fotons difonen cap a l'exterior molt lentament. | |||
** Al Sol: un fotó triga de l'ordre de $10^7$ anys en escapar. | |||
* El transport radiatiu en els estels és per tant un '''procés de difusió'''. En tractar-lo com a tal veurem que simplifica força el tractament matemàtic del mateix. | |||
* Per tractar aquests procesos sol utilitzar-se la '''llei de Fick''': donat un gradient $\vec{\nabla} n$ en la densitat de partícules, el flux net de partícules per unitat de temps per unitat de superfície $\vec{J}$ és: | |||
$$\vec{J} = - D \vec{\nabla} n,$$ | |||
amb $D = \frac{1}{3} \bar{v} \mathcal{l}$ el coeficient de difusió. | |||
* Prenem una superfície i una distribució isotròpica de partícules. Les que creuen en la direcció positiva (una de les 2 direccions) són: | |||
$$\frac{dN}{dt} = \frac{1}{6} n \bar{v}.$$ | |||
* Suposem que hi ha un gradient $\partial n/\partial z$ ($n \equiv n(z)$). Llavors les partícules que es mouen cap amunt amb un lliure recorregut $\mathcal{l}$ tindran una densitat promig donada per $n(z - \mathcal{l})$, i les que es mouen cap abaix tindran una densitat promig donada per $n(z + \mathcal{l})$. Per tant el flux total és: | |||
$$J = \frac{1}{6} \bar{b} n(z - l) - \frac{1}{6} \bar{v} n(z + l) = \frac{1}{6} \bar{v} \left( -2 \mathcal{l} \frac{\partial n}{\partial z} \right) = - \frac{1}{3} \bar{v} \mathcal{l} \frac{\partial n}{\partial z}.$$ | |||
* Suposem que, a més d'un gradient de la densitat de partícules, hi ha també un gradient en la densitat d'energia $U$ transportat per aquestes partícules (fotons o partícules de gas). Llavors també existirà un flux net d'energia a través de la superfície, ja que en promig les partícules que creuen cap amunt porten més energia que no pas les que van cap avall. | |||
El gradient en la densitat d'energia $\nabla U$ dóna lloc a un flux d'energia: | |||
$$\vec{F} = - D \vec{\nabla} U.$$ | |||
Aquest gradient d'energia es pot associar al se torn amb un '''gradient de temperatura $\nabla t$'''$$\vec{\nabla} U = (\partial U/\partial T)_V \vec{\nabla} T =: C_V \vec{\nabla} T,$$ | |||
on $C_V$ és la calor específica a volum constant. | |||
Podem escriure el flux d'energia com una eq. per la conducció del calor: | |||
$$\vec{F} = -K \vec{\nabla} T, \text{ on } K = \frac{1}{3} \bar{v} \mathcal{l} C_V,$$ | |||
on $K$ és la conductivitat. | |||
Observació: la formulació emprada fins aquí és vàlida tant per fotons com per partícules de gas. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
