709
edits
Difference between revisions of "Bloc 2. Estructura estel·lar"
From Potatopedia
Bloc 2. Estructura estel·lar (view source)
Revision as of 15:46, 4 October 2021
, 15:46, 4 October 2021Fi de la classe
(Partial save) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 798: | Line 798: | ||
Observació: la formulació emprada fins aquí és vàlida tant per fotons com per partícules de gas. | Observació: la formulació emprada fins aquí és vàlida tant per fotons com per partícules de gas. | ||
=== Difusió radiativa === | |||
Podem prendre $\bar{v} = c$, $U = a T^4$. D'aquesta manera, $C_V = \frac{dU}{dT} = 4 a T^3$. | |||
Ara hauríem de determinar la $\mathcal{l}_{ph}$. Podem fer-ho amb l'eq. de transferència radiativa: com s'atenua la intensitat $I_\nu$ al llarg d'una certa distància $s$ (recorregut): | |||
$$\frac{d I_\nu}{ds} = - k_\nu \rho I_\nu,$$ | |||
on $k_\nu$ és el '''coeficient d'absorció màssic''' (o coeficient d'opacitat) (en unitats de $\text{cm}^2 \text{g}^{-1}$) a una determinada freqüència $\nu$. | |||
Lliure recorregut mig: distància en la qual la intensitat $I_\nu$ disminueix un factor $e$. Depèn de cada freqüència, però si fem un promig: | |||
$$\mathcal{l}_{ph} = \frac{1}{k \rho},$$ | |||
amb $k$ sent la '''opacitat'''. | |||
Podem ara calcular la conductitivat radiativa: | |||
$$K_{rad} = \frac{4}{3} \frac{ac T^3}{k \rho}.$$ | |||
Si prenem coordenades esfèriques, el fluxe i la lluminositat es relacionen per $F_{rad} = L_{loc}/4 \pi r^2$, així que: | |||
$$\frac{\partial T}{\partial r} = - \frac{3 k \rho}{16 \pi a c T^3} \frac{L_{loc}}{r^2}.$$ | |||
Com $\partial r/\partial m = 1/(4 \pi r^2 \rho)$, tenim: | |||
$$\frac{\partial T}{\partial r} = - \frac{3}{64 \pi^2 a c} \frac{k L_{loc}}{r^4 T^3}.$$ | |||
--- | |||
Aquest és el gradient de temperatura necessari per a transportar la lluminositat $L_{loc}$ a través de la radiació. És la '''4a eq. de l'estructura estel·lar''' (si aquesta energia és transportada només per la radiació). Una regió de l'estel que la compleix s'anomena que està en '''equilibri radiatiu'''. | |||
L'eq. serà vàlida sempre que $\mathcal{l}_{ph} \ll R$ (sempre que la condició LTE es compleixi). | |||
A la superfície de l'estel (fotoesfera) l'aproximació ja no és vàlid ($\mathcal{l}_{ph} \gtrsim R$). En aquest cas s'han de resoldre les eqs. de transferència radiativa (més complexes). | |||
Malgrat tot, LTE i aproximació de difusió es compleixen a la pràctica totalitat dels interiors estel·lars. | |||
--- | |||
Donat un estel en eq. hidrostàtic, podem combinar l'eq. anterior junt amb l'eq. del gradient de pressió per obtindre: | |||
$$\frac{dT}{dm} = \frac{dP}{dm} \cdot \frac{dT}{dP} = - \frac{Gm}{4 \pi r^4} \frac{T}{P} \cdot \frac{d \log T}{d \log P},$$ | |||
de manera que podem definir el '''gradient radiatiu de temperatura''' com: | |||
$$\nabla_{rad} := \left( \frac{\log T}{\log P} \right)_{rad} = \frac{3}{16 \pi ac G} \frac{k L_{loc} P}{m T^4},$$ | |||
que ens descriu la variació logarítmica de la temperatura $T$ en funció de la profunditat (expressada en termes de la pressió) per un estel en eq. hidrostàtic si l'energia és transportada únicament per radiació. | |||
=== Opacitat de Rosseland === | |||
Les eqs. de difusió radiativa que hem derivat són independents de la freqüència $\nu$. Però en general, $k_\nu$ (depèn de les freqüències). | |||
Prenent $F_\nu d\nu$ com el flux radiatiu en un cert intèrval de freqs. $[\nu, \nu + d\nu]$, podem rescriure l'eq. com: | |||
$$\vec{F} = - D_\nu \vec{\nabla} U_\nu = - D_\nu \frac{\partial U_\nu}{\partial T} \vec{\nabla} T$$ | |||
amb $D = \frac{1}{3} c \mathcal{l}_\nu = \frac{c}{3 k_\nu \rho).$ | |||
La distribució de l'energia $U_\nu$ en aquest interval de freqüències serà llavors: | |||
$$U_\nu = \frac{8 \pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{e^{h \nu / kT} - 1}$$ | |||
El flux total es troba integrant l'eq. per totes les freqs: | |||
$$\vec{F} = - \left[ \frac{c}{3 \rho} \int_0^\infty \frac{1}{k_\nu} \frac{\partial U_\nu}{\partial T} d\nu \right] \vec{\nabla} T.$$ | |||
Per tant: | |||
$$K_{rad} = \frac{c}{3 \rho} \int_0^\infty \frac{1}{k_\nu} \frac{\partial U_\nu}{\partial T} d\nu.$$ | |||
Per tant el càlcul precís de l'opacitat $k$ esdevé: | |||
$$\frac{1}{k} = \frac{1}{4 a T^4} \int_0^\infty \frac{1}{k_\nu} \frac{\partial U_\nu}{\partial T} d\nu.$$ | |||
Se l'anomena '''opacitat promig de Rosseland'''. Notem que afavoreix els fluxes alts, de manera que el terme $\frac{1}{k}$ és una mesura de la transparència promig. | |||
=== Transport per conducció === | |||
Transport de calor: es pot donar a través de les col·lisions entre partícules (ions i electrons). | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
