709
edits
Difference between revisions of "Tema 3. Cosmologia física"
From Potatopedia
Tema 3. Cosmologia física (view source)
Revision as of 16:53, 25 November 2021
, 16:53, 25 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 29: | Line 29: | ||
Com durant la major part del temps hem tingut $w \approx 0$ (la matèria dominava): | Com durant la major part del temps hem tingut $w \approx 0$ (la matèria dominava): | ||
$$R_c(t) \approx 3ct.$$ | $$R_c(t) \approx 3ct.$$ | ||
''Data: dijous 25 de novembre de 2021'' | |||
'''Nota:''' L'horitzó de l'univers casual té en compte l'efecte de l'expansió també! | |||
L''''horitzó d'esdeveniments''' representa el límit en l'espai-temps més enllà del qual els esdeveniments que passen a partir d'aquest límit no podran afectar a l'observador en el futur. És la mateixa integral que en l'horitzó de partícules, però entre el temps actual i el futur (temps límit). En un univers com el nostre podríem posar un infinit a l'integral. | |||
L'horitzó de partícules vam veure que és: | |||
$$R_p(t_0) = a(t_0) \int_0^{t_0} \frac{c dt'}{a(t')} \sim 46 \text{ Ga.l. (giga anys llum)}.$$ | |||
L'horitzó d'esdeveniments és: | |||
$$R_E(t_0) = a(t_0) \int_{t_0}^{t_{max} = \infty} \frac{c dt'}{a(t')} \sim 16 \text{ Ga.l}.$$ | |||
Si passem l'última expressió a redshift: $z \sim 1.8$ (recordem que $z \in [0, \infty]$ i l'infinit és el del Big Bang). Per tant, els esdeveniments que passen ara no els rebrem per redshifts superiors a 1.8 (però actualment! Això no diu res d'esdeveniments passats). | |||
Els valors de Giga anys llum són distàncies del radi dels punts actualment (tot i que sen's hagi enviat l'informació abans (en el cas de l'horitzó causal)). | |||
Distància comòbil: constant durant el temps. Distància pròpia: distància comòbil multiplicada per $a$ per tal de tenir en compte que les rajoles s'expandeixen. (veure [https://potatopedia.avm99963.com/wiki/Tema_2._Gravetat_d%27Einstein#:~:text=%C3%A9s%20vpec%3D0).-,distancia%20propia%3A,-%C3%A0%C3%B2%CF%95(t)%3DDist%C3%A0ncia això]) | |||
@TODO: Inserir diagrames full. | |||
El Hubble va donar les dades i veia que les galàxies s'allunyaven, però deixa als experts la interpretació de l'univers en expansió. Com vam dir convenç a l'Einstein posteriorment que l'univers s'està accelerant. | |||
== Llei de Hubble-Lemaître == | |||
Treballem en un entorn local. | |||
La '''distància pròpia''' és: | |||
$$d_p(t) = a(t) f(r, k),$$ | |||
on $f(r, k)$ és la distància comòbil. | |||
Si derivem respecte del temps coordenat, tenim la velocitat radial (també anomenada velocitat de recessió): | |||
$$v_r = \dot{a}(t) f(r, k).$$ | |||
Com estem treballant localment, tenim $k = 0$ (localment Minkowski) i per l'efecte Doppler (local) $v_r = c z \approx \dot{a}(t_0) r$. Multiplicant per $a_0/a_0$ tenim: | |||
$$\boxed{v_r = c z \approx H_0 d_p(t_0).} \; \text{(llei de Hubble)}$$ | |||
Pregunta: si $z = 1$, quina és la velocitat de recessió de les galàxies? Velocitat de la llum (ens dona el radi de Hubble). | |||
NOTA: No és una velocitat peculiar, la galàxia està enganxada a la "malla". | |||
Les galàxies tenen velocitat local $v_{local} \ll c$. Els fotons tenen $v_{local} = c$. L'esfera de Hubble va creixent i el fotó es va apropant i, per tant, hi ha un moment que el fotó travessa el radi de Hubble arribant a l'esfera subluminal. | |||
Conclusió: el fet que un objecte estigui a la regió súperluminal no vol dir que no es pugui veure (els seus fotons sí que poden travessar el radi de Hubble). | |||
Hem estat parlant de 3 distàncies: | |||
* Coordenada | |||
* Comòbil | |||
* Pròpia | |||
Demà introduirem 2 distàncies físiques, i ara farem els preliminars per tal de poder-les introduir. | |||
$$H^2 = \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2},$$ | |||
$$\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) = - \frac{4 \pi G}{3} \rho (1 + 3w).$$ | |||
$$\rho_w(t) = \rho_{w0} a^{-3 (1 + w)}.$$ | |||
== Cosmografia == | |||
La cosmografia és fer una cosmologia local :) | |||
Al voltant de la nostra posició: | |||
$$a(t) = a_0 + \frac{1}{1!} \left.\frac{da}{dt}\right|_{t = t_0} (t - t_0) + \frac{1}{2!} \left. \frac{d^2 a}{dt^2} \right|_{t = t_0} (t - t_0)^2 + O(t^3).$$ | |||
Ens quedarem en primer ordre. | |||
Introduïm una quantitat (això és històric). Ja sabíem que $H_0 = \dot{a}_0 / a_0$. El '''paràmetre de decelaració''' és: | |||
$$q_0 := - \frac{\ddot{a}_0 a_0}{\dot{a}_0^2}.$$ | |||
De fet, això és equivalent a les $\Omega$'s, però històricament s'utilitzava $q_0$ perquè només hi havia un fluid i com només era matèria, l'univers s'expandia desacceleradament (d'aquí el menys). Posteriorment veurem la relació entre els 2 paràmetres. | |||
Aleshores, podem escriure l'$a(t)$ com: | |||
$$a(t) = a_0 [1 + (t - t_0)H_0 - \frac{(t - t_0)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots].$$ | |||
També sabem $1 + z = a_0/a$, i $a_0 = 1$. Per tant: | |||
$$1 + z = a^{-1} = [1 + \underbrace{(t - t_0)H_0 - \frac{(t - t_0)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots}_{x \ll 1}]^{-1}.$$ | |||
Anomenem $x$ al terme subratllat (variable per fer la substitució només, no té cap significat). Aleshores, com $(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 + \ldots$ ($x \ll 1$): | |||
$$z = H_0 (t_0 - t) + \frac{(t_0 - t)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots + (t_0 - t)^2 H_0^2 + \ldots =$$ | |||
$$= H_0 (t_0 - t) + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0^2 (t_0 - t)^2 + \ldots + O(t^3) \implies$$ | |||
$$\boxed{= H_0 (t_0 - t) \left[ 1 + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots \right] \implies}$$ | |||
$$\implies t_0 - t = \frac{z}{H_0} \left[ 1 + \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots}_{\tilde{x}} \right]^{-1}.$$ | |||
De nou amb la mateixa aproximació ($\tilde{x} \ll 1$): | |||
$$ \boxed{t_0 - t(z) = \frac{1}{H_0} \left[ z - \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) z^2 + \ldots \right]} $$ | |||
que s'anomena '''look back time''' o '''temps d'observació'''. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
