709
edits
Difference between revisions of "Tema 3. Cosmologia física"
From Potatopedia
Tema 3. Cosmologia física (view source)
Revision as of 16:52, 26 November 2021
, 16:52, 26 November 2021Fi de la classe
(Fi de la classe) |
(Fi de la classe) |
||
| Line 106: | Line 106: | ||
Anomenem $x$ al terme subratllat (variable per fer la substitució només, no té cap significat). Aleshores, com $(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 + \ldots$ ($x \ll 1$): | Anomenem $x$ al terme subratllat (variable per fer la substitució només, no té cap significat). Aleshores, com $(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 + \ldots$ ($x \ll 1$): | ||
$$z = H_0 (t_0 - t) + \frac{(t_0 - t)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots + (t_0 - t)^2 H_0^2 + \ldots =$$ | $$z = H_0 (t_0 - t) + \frac{(t_0 - t)^2}{2} q_0 H_0^2 + \ldots + (t_0 - t)^2 H_0^2 + \ldots =$$ | ||
$$= H_0 (t_0 - t) + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0^2 (t_0 - t)^2 | $$= H_0 (t_0 - t) + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0^2 (t_0 - t)^2 + O(t^3) \implies$$ | ||
$$\boxed{= H_0 (t_0 - t) \left[ 1 + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots \right] \implies}$$ | $$\boxed{= H_0 (t_0 - t) \left[ 1 + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots \right] \implies}$$ | ||
$$\implies t_0 - t = \frac{z}{H_0} \left[ 1 + \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots}_{\tilde{x}} \right]^{-1}.$$ | $$\implies t_0 - t = \frac{z}{H_0} \left[ 1 + \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0 (t_0 - t) + \ldots}_{\tilde{x}} \right]^{-1}.$$ | ||
De nou amb la mateixa aproximació ($\tilde{x} \ll 1$): | De nou amb la mateixa aproximació ($\tilde{x} \ll 1$): | ||
$$ \boxed{t_0 - t(z) = \frac{1}{H_0} \left[ z - \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) z^2 + | $$ \boxed{t_0 - t(z) = \frac{1}{H_0} \left[ z - \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) z^2 + O(z^3) \right]} $$ | ||
que s'anomena '''look back time''' o '''temps d'observació'''. | que s'anomena '''look back time''' o '''temps d'observació'''. | ||
''Data: divendres 26 de novembre de 2021'' | |||
La distància comòbil és: | |||
$$\chi := f(r, k) = \int_t^{t_0} \frac{c dt'}{a(t')} = \int_0^r \frac{dr'}{(1 - kr'^2)^{1/2}} \underset{\scriptstyle \text{localment}}{=} \begin{cases} r + O(r^3), \\ r \, (k = 0), \\ r + O(r^3) \end{cases}$$ | |||
Per tant: | |||
$$\chi = \frac{c}{a_0} \int_t^{t_0} \left[ 1 + H_0(t_0 - t') + \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) H_0^2 (t_0 - t')^2 + \ldots \right] dt' = r + O(r^3)$$ | |||
$$r \approx \frac{c}{a_0} \left[ (t_0 - t) + \frac{1}{2} \underbrace{H_0 (t_0 - t)^2}_{\sim z^2/H_0} + \ldots \right].$$ | |||
Utilitzant una de les equacions que vam deduir ahir: | |||
$$r = \frac{c}{a_0} \left[ \frac{1}{H_0} \left[ z - \left( 1 + \frac{1}{2} q_0 \right) z^2 + \ldots \right] + \frac{1}{2} \frac{z^2}{H_0} + \ldots \right]$$ | |||
$$\boxed{r(z) = \frac{c}{a_0 H_0} \left[ z - \frac{1}{2} (1 + q_0) z^2 + O(z^3) \right]}$$ | |||
== Distàncies == | |||
=== Distància de lluminositat === | |||
Definim la '''distància de lluminositat''' com: | |||
$$d_L^2 := \frac{L_{emi}}{4 \pi f_{obs}},$$ | |||
on $L_{emi}$ és la lluminositat (brillantor intrínseca, potència emesa per unitat de temps) i $f_{obs}$ el flux (el que ens arriba). | |||
Observem que el flux observat és: | |||
$$f_{obs} = \frac{L_{obs}}{A(t_0)} = \frac{L_{obs}}{4 \pi a^2 r^2},$$ | |||
on utilitzem la distància pròpia $a \cdot r$ perquè és la distància física. | |||
Anem a veure què passa amb la lluminositat. Recordem que els fotons van perdent energia: $\nu(t) a(t) = \nu_0 a_0$. Per tant: $\nu_{emi} = (1 + z) \nu_0$. També tenim $\frac{\Delta E}{\Delta t_0} = \frac{\Delta E}{\Delta t_e} \cdot \frac{a}{a_0}$. De tot això concloem: | |||
$$L_{obs} = L_{emi} \left( \frac{a}{a_0} \right)^2.$$ | |||
Per tant: | |||
$$f_{obs} = \frac{L_{emi} \left( \frac{a}{a_0} \right)^2}{4 \pi a_0^2 r^2}.$$ | |||
Finalment: | |||
$$d_L^2 = \frac{\cancel{L_{emi}} a_0^2 \cancel{4 \pi} a_0^2 r^2}{\cancel{4 \pi} \cancel{L_{emi}} a^2} \implies d_L = a_0^2 \frac{r}{a} = (1 + z) \underbrace{r a_0}_{d_p}.$$ | |||
Aquesta distància és important perquè va jugar un paper cabdal per descobrir l'expansió accelerada de l'univers. Vegem-ho: | |||
$$d_L = r a_0 \frac{a_0}{a} = \frac{c}{H_0} \left[ z - \frac{1}{2} (1 + q_0) z^2 + \ldots \right] (1 + z) = \frac{c}{H_0} \left[ z + \frac{1}{2} (1 - q_0) z^2 + O(z^3) \right].$$ | |||
Fins ara les supernoves es consideren com candeles estàndard (saps la potència intrínseca (watts) de la font). Això és perquè l'explosió es dona amb degeneració, i al voltant de la massa de Chandrasekhar. (Hi ha ara una persona que ha fet un paper dient que en realitat no són candeles estàndard, però bueno, és només una correcció). Llavors amb les supernoves es va trobar el valor de $q_0$ que indicava que s'estava expandint acceleradament. | |||
Recordem l'equació de les magnituds (versió completa!): | |||
$$m^{corr}_X = \quad M_Y + 25 + 5 \log_{10} \left( \frac{d_L}{M_{pc}} \right) + K_{XY}.$$ | |||
$M$ és la magnitud intrínseca. $m$ ha d'estar corregida per les absorcions de la galàxia d'origen + la nostra. $K$ s'anomena correcció K, i és una correcció estadística per corregir el ¡ redshift. $X, Y$ són les finestres. | |||
Anem a posar el bitxo de dalt a sota (i passem algunes variables que coneixem a l'esquerra): | |||
$$m_x^c - M_y - k_{xy} = 25 + 5 \log_{10} \left[ \frac{cz}{H_0} \left( 1 + \frac{1}{2} (1 - q_0) z + \ldots \right) \right].$$ | |||
Com $1 - q_0 \ll 0$, aproximarem $\log_{10} (1 + x) = \log_{10}(e) \log(1 + x) = \log_{10}(e) (x - x^2/2 + \ldots)$, i obtenim: | |||
$$\underbrace{m_X - M_y - k_{xy}}_{\scriptstyle \text{conegut}} = 25 - 5 \log_{10} (H_0) + 4 \log_{10} (cz) + 1.086 (1 - q_0) z + \ldots$$ | |||
$z$ s'observa a l'espectre, i es pren $H_0 = 70 \text{km/s/Mpc}$. D'aquí s'aïlla $q_0$ i s'obté un valor negatiu. | |||
A més, es pot veure que | |||
$$q_w = \frac{\Omega_w}{2} (1 + 3w),$$ | |||
on la part esquerra és la definició clàssica, i a la dreta la moderna. Es necessitava una altra $\Omega$, que van treure de les equacions de camp d'Einstein: | |||
$$q_0 = \sum_{w_i} q{w_i, 0} = \frac{1}{z} \sum_i \Omega_{i0} (1 + 3 w_i) = \frac{1}{2} \Omega_{m0} - \Omega_{\Lambda 0}.$$ | |||
A aquella època admetien $\Omega_{m0} = 0.3 \pm 1$. Per tant $\Omega_{\Lambda 0} = 0.7$. | |||
=== Distància geomètrica === | |||
@TODO: Inserir diagrama que he dibuixat en paper. Il·lustra les variables. | |||
$$d_A := \frac{D_p}{\delta},$$ | |||
on $D_p$ és la distància pròpia (intrínseca) i $\delta$ és observat. | |||
$$D_p = a(t) \cdot r \cdot \delta \iff \delta = \frac{D_p}{a(t) \cdot r}$$ | |||
Posem $a(t)$ i no $a(t_0)$ perquè es la $t$ quan van sortir els fotons. Substituint a la definició obtenim: | |||
$$d_A = a(t) \cdot r.$$ | |||
Observem que: | |||
$$\frac{d_A}{d_L} = \frac{a^2}{a_0^2} = (1 + z)^{-2}.$$ | |||
=== Brillantor superficial === | |||
Si la brillantor superficial no depèn del redshift estem en el cas clàssic (funciona localment). Es va veure que depèn com $(1 + z)^{-4}$, així que sí que hi ha expansió. | |||
[[Category:Astrofísica i cosmologia]] | [[Category:Astrofísica i cosmologia]] | ||
